Equazioni lineari in seno e coseno

[first100]

Sto risolvendo alcune e quazioni lineari in seno e coseno , il metodo utilizzato è questo:

sen(x) - \sqrt{3} cos (x)=\sqrt{3}

ora sostituisco sen(x) = X e cos(x) = Y
ed ho :

X + \sqrt{3} Y= \sqrt{3}

faccio il sistema con

x\sp{2}+y\sp{2}=1

ho alla fine

quattro soluzioni , cioè due sistemi con :

sen x=1 , cos x=0

e

sen x= - 1 /2 ,cos x= \sqrt{3}/2

In questi due ultimi sistemi mi perdo , come trovare dove senx e cos x dsono contemporaneamente 1 e 0 nel primo caso e le soluzioni nel secondo ?

Grazie a chi mi aiuterà

[theras]

Prova a dividere membro a membro(nei versi in cui puoi farlo..):
dovrebbe esserti utile !
Saluti dal web.

[first100]

Si in quel modo non ho problemi ma devo risolvere gli esercizi anche con il sistema e al punto di finire non sò come procedere .
Grazie

[minomic]

Ciao, allora l'equazione è$$\sin x - \sqrt{3}\cos x = \sqrt{3}$$Poniamo $$
\begin{cases}
Y=\sin x \\ X = \cos x
\end{cases} \qquad \Rightarrow \qquad Y - \sqrt{3}X = \sqrt{3}
$$Questa rappresenta una retta e ricordando che vale$$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$possiamo dire $$X^2 + Y^2 = 1$$che rappresenta una circonferenza con centro nell'origine e raggio unitario (cioè la circonferenza goniometrica). Facciamo l'intersezione tra queste due curve e otteniamo$$
\begin{cases}
Y - \sqrt{3}X = \sqrt{3} \\ X^2 + Y^2 = 1
\end{cases}
$$Risolviamo il sistema e troviamo, come dicevi tu,$$
\begin{cases}
X=-1 \\ Y=0
\end{cases} \qquad \vee \qquad \begin{cases}
X=-\frac{1}{2} \\ Y=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases}
$$Ricordando che avevamo posto$$
\begin{cases}
Y=\sin x \\ X = \cos x
\end{cases}$$concludiamo$$
\begin{cases}
\cos x=-1 \\ \sin x=0
\end{cases} \Rightarrow x = \pi + 2k\pi
\qquad \vee \qquad \begin{cases}
\cos x =-\frac{1}{2} \\ \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}
\end{cases} \Rightarrow x = \frac{2}{3}\pi + 2k\pi
$$

[first100]

Grazie ho capito tutto fino all'ultimo passaggio, perchè nel secondo sistema x=2/3 pi ?

[minomic]

"first100":perchè nel secondo sistema x=2/3 pi ?

Sono valori notevoli. Li puoi ricavare anche con le funzioni $\arccos$ e $\arcsin$ ma fai attenzione al quadrante.

[giammaria2]

@ first100. Dal regolamento:

3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.

Tu sei oltre i 30 messaggi; per questa volta non intervengo, anche perché hai già avuto la risposta desiderata, ma alla prossima violazione bloccherò il tuo messaggio ed invito tutti a non rispondervi.