Equazioni irrazionali (37240)

[-selena-]

ciao...allora non riesco a fare questa equazione..è un'equazione irrazionale di 2°grado

[math]\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}[/math]

ho elevato al quadrato diverse volte /perchè vengono i doppi prodotti) e arrivo qui

[math]9x^4-14x^2+25=0[/math]

?? e un'altra cosa affinchè

[math]\sqrt{x+2}[/math]

come anche le altre radici quadrate esistano le devo sempre porre maggiori uguali a zero e fare poi il sistema giusto?? grazie

[-selena-]

# the.track :
Prima di fare il quadrato ti suggerisco di vedere quello che hai:

[math]\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x+3}\\
\\
\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=2\sqrt{2x+3}\\
\\
\(\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}\) \(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}\)=2\sqrt{2x+3}\(\sqrt{x+2}-\sqrt{x+2}\)\\
\\
x+2-x-2=2\sqrt{(2x+3)}\sqrt{(x+2)}-2\sqrt{(2x+3)}\sqrt{(x+2)}\\
\\
0=\sqrt{(2x+3)}\sqrt{(x+2)}-\sqrt{(2x+3)}\sqrt{(x+2)}\\
[/math]

[math]
\sqrt{2x+3} \sqrt{x+2}=\sqrt{2x+3}\sqrt{x-2}\\
\\
\sqrt{x+2}=\sqrt{x-2}\\
\\
x+2=x-2\\
\\
2=-2\\
\\[/math]

Ciò significa che quella equazione non è mai verificata.

A me viene così. Adesso riguardo i calcoli.

Affinché esistano le radici, devi sempre porre l'argomento di radice maggiore uguale a zero, quindi avrai, a conti fatti:

[math]CE: \; x\geq 2[/math]

Se hai dubbi chiedi.

in primis grazie 1000 per la risposta..comunque ho controllato sul libro e deve riportare impossibile...ma non ho capito il tuo 3°passaggio..

[the.track]

Aspetta ho fatto un errore di segno.

[-selena-]

l'ho rifatta e mi viene

[math]\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}=\sqrt{2x+3}+\sqrt{2x-3}[/math]

e dopo aver elevato al quadrato,semplificato ecc mi viene

[math]x^2-4=4x^2-9+x^2+2x\sqrt{4x^2-9}[/math]

[math]-4x^2+5=2x\sqrt{4x^2-9}[/math]

[math]-4x^2+5=2x(2x-3)[/math]

[math]8x^2+6x-5=0 [/math]

giusto?

[the.track]

Aspetta perché ho combinato un casino.

Dunque riparto da capo.

Elevo al quadrato dopo aver imposto le condizioni di esistenza x ≥ 2.

[math]x+2+x-2+2\sqrt{x^2-4}=2x+3+2x-3+2\sqrt{4x^2-9}\\
\\
2x-4x=2\sqrt{4x^2-9}-2\sqrt{x^2-4}\\
\\
Semplifico:\\
\\
x-2x=\sqrt{4x^2-9}-\sqrt{x^2-4}\\
\\
-x=\sqrt{4x^2-9}-\sqrt{x^2-4}\\
\\
x=\sqrt{x^2-4}-\sqrt{4x^2-9}\\
\\
x^2=x^2-4-4x^2+9-2\sqrt{(x^2-4)(4x^2-9)}\\
\\
4+4x^2-9=-2\sqrt{(x^2-4)(4x^2-9)}\\
\\
4x^2-5=-2\sqrt{(x^2-4)(4x^2-9)}[/math]

Chiamo per comodità

[math]t=x^2[/math]

[math]4t-5=-2\sqrt{(t-4)(4t-9)}\\
\\
5-4t=2\sqrt{4t^2-25t+36}[/math]

Già adesso possiamo dire che non ci sono soluzioni. Siccome per

[math]x\geq 2[/math]

abbiamo che la roba a sinistra dell'uguale è sempre strettamente negativa, e a destra è sempre positiva, è ovvio che quell'uguaglianza non può essere soddisfatta per nessun valore di x reale.

[math]x\geq 2[/math]

deriva dall'esistenza delle radici.

Adesso vado a pranzo. Se hai dubbi scrivi. Torno dopo. ;)

[-selena-]

grazie---ma come avevo fatto io era sbagliato?

[issima90]

si!
xk quando elevi al quadrato una somma (in questo caso di due radici) devi ricordarti il doppio prodotto..cioè

[math](\sqrt{a}+\sqrt{b})^2=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2+2\sqrt{a}\sqrt{b}[/math]

ok?tu hai sbagliato completamente l'elevamento a potenza!!

[-selena-]

ok grazie

[issima90]

chiudo!