Equazioni in modulo!

[Haru7]

Avrei da fare tre esercizi che non ho capito troppo bene come svolgere, qualcuno potrebbe darmi una mano?

1/4+x^2=-1-|x^2-4x+3|

1/2x-|x-6|=1-3x

x+4/x=x/2+|x^2-4/2x|

Grazie mille in anticipo!

[rino6999]

devi tener presente la definizione di valore assoluto
esempio

[math]|x^2-6|=x[/math]

risolviamo la disequazione

[math]x^2-6 \geq 0[/math]

che ha soluzione per

[math]x \leq -\sqrt{6}[/math]

o

[math]x \geq \sqrt{6}[/math]

allora ,in questi due intervalli,l'equazione di partenza equivale all'equazione

[math]x^2-6=x[/math]

che ha come soluzioni

[math]x=-2[/math]

o

[math]x=3[/math]

di queste 2 soluzioni, solo

[math]x=3[/math]

è accettabile perchè è contenuta in uno dei 2 intervalli che stiamo considerando


nell'intervallo

[math]- \sqrt6 < x < \sqrt6[/math]

l'equazione equivale all'equazione

[math]-x^2+6=x[/math]

che ha come soluzioni

[math]x=2[/math]

o

[math]x=-3[/math]

di queste 2 soluzioni solo

[math]x=2[/math]

è accettabile perchè è contenuta nell'intervallo che stiamo ora considerando


in conclusione,l'equazione

[math]|x^2-6|=x[/math]

ha come soluzioni

[math]x=2[/math]

o

[math]x=3[/math]

[Haru7]

Grazie mille per l'aiuto, il procedimento basico l'avevo intuito però non riesco bene ad applicarlo su quei tre esercizi.. Potresti aiutarmi?

[rino6999]

se hai capito non dovresti avere difficoltà
primo esercizio : aiutandoti con il mio esempio,qual è la prima cosa che devi fare ?

[Haru7]

Risolvere la disequazione con i valori all'interno del valore assoluto però non so se devo per esempio scomporre (x-3(x-1) e poi non so come comportarmi con quel meno di fronte al valore assoluto!

Io avevo impostato l'esercizio così:

x^2-4x+3 > o uguale a 0
x^2-4x+3 = 1/4+x^2+1

Tutto messo a sistema, però non sapevo andare avanti per i due motivi detti prima!

[rino6999]

se non hai ancora studiato le disequazioni di 2° grado devi scomporre
la scomposizione è giusta
sai risolvere

[math](x-3)(x-1) \geq 0[/math]

?

[Haru7]

Sì certo, parabola e x < o uguale a 1, x > o uguale a 3. Okay lì ci sono quindi, per il segno meno davanti al valore assoluto invece? Non ne tengo conto?

La parte sotto della mia impostazione è corretta?

[rino6999]

risolvendo

[math]x^2-4x+3 \geq 0[/math]

implicitamente hai risolto anche
[math]x^2-4x+3

[Haru7]

L'x^2 è sotto il denominatore! E' 1/4+x^2

[rino6999]

l'hai scritta in modo ingannevole..........
comunque,il ragionamento resta valido

[Haru7]

Non sapevo come altro scriverla perdono.. >;

Quindi poi devo semplicemente fare il comune denominatore e sviluppare, arrivare a trovare il valore di x e verificare che sia compreso negli intervalli della disequazione, giusto?

[rino6999]

giusto

[Haru7]

Prova e riprova ma non mi viene, arrivo alla fine con x^4+4x^3+2x^2+16x=7 che non riesco in alcun modo a scomporre per trovare la x..

[rino6999]

comunque,l'equazione non ha soluzione perchè,a ben vedere,al primo membro hai una quantità positiva per ogni x e al secondo membro una quantità negativa per ogni x
scusa,ma solo adesso ci ho fatto caso
quindi,non c'è bisogno di discutere il segno dell'argomento del valore assoluto

[Haru7]

In effetti il libro dà proprio nessuna soluzione come risultato, però pensavo andasse dimostrato! Quindi come devo scrivere? :o

[rino6999]

in un certo senso quello che ho detto è una dimostrazione perchè è evidente che 1/(4+x^2) sia sempre maggiore di zero e -1-|x^2-4x+3| sia sempre minore di zero
quindi penso che sia corretto rispondere in questo modo :
"Siccome il primo membro è evidentemente sempre positivo ed il secondo sempre negativo,l'equazione non ha soluzione"

[Haru7]

Perfetto, magari domani chiedo bene alla prof anche perchè alcune cose possono variare da insegnante a insegnante, comunque sono riuscito a fare le altre due, grazie mille per l'aiuto!