Equazioni goniometriche elementari
Abbiamo appena iniziato le funzioni goniometriche elementari, ma ho un dubbio su un esercizio: "Scrivi le soluzioni dell'equazione $sen(x)=sqrt(2)/2$ nell'intervallo da $0$ a $3 \pi$."
Ovviamente la prima cosa che ho fatto è stato disegnare la circonferenza goniometrica, cercando i punti di ordinata $sqrt(2)/(2) $, e ho ovviamente riscontrato soluzioni per $\pi/4$ (angolo particolare) e per $\pi - \pi/4$ ossia $3/4 \pi$.
Il problema è che il libro dà due altre soluzioni a cui io non arrivo, o meglio, arrivo ad altre soluzioni errate che sarebbe un po' lungo scrivere.
Quello che vorrei sapere è come procedereper trovare l'altra metà del risultato, e magari, più in generale, per risolvere un quesito del genere quando ci viene chiesto di scrivere le soluzioni in un intervallo specifico (caso, per adesso, risultato abbastanza raro).
Grazie anticipatamente.
Ovviamente la prima cosa che ho fatto è stato disegnare la circonferenza goniometrica, cercando i punti di ordinata $sqrt(2)/(2) $, e ho ovviamente riscontrato soluzioni per $\pi/4$ (angolo particolare) e per $\pi - \pi/4$ ossia $3/4 \pi$.
Il problema è che il libro dà due altre soluzioni a cui io non arrivo, o meglio, arrivo ad altre soluzioni errate che sarebbe un po' lungo scrivere.
Quello che vorrei sapere è come procedereper trovare l'altra metà del risultato, e magari, più in generale, per risolvere un quesito del genere quando ci viene chiesto di scrivere le soluzioni in un intervallo specifico (caso, per adesso, risultato abbastanza raro).
Grazie anticipatamente.
Risposte
Beh, ogni $pi$ è mezzo giro, $3 pi$ sono tre mezzi giri, i.e. un giro e mezzo, al primo giro ci sono quelle che hai trovato e al mezzo secondo giro ci sono $5/4 pi$ e...
Ecco, è proprio questo tuo ragionamento che non mi è chiaro...
In trigonometria gli angoli sono orientati, i.e. non si fermano a $360°$, ma facendo ulteriori giri con un lato dell'angolo (tipo lancetta d'orologio) si torna ad avere lo stesso angolo euclideo (i.e. la parte di piano), ma con misura diversa (perché la misura è orientata e conta quante volte gira completamente il lato).
$pi$ è l'angolo piatto, i.e. mezzo giro, $2 pi$ è l'angolo giro, i.e. un giro completo, $3 pi= 2 pi + pi$, i.e. un giro completo più mezzo giro. Se devi trovare le soluzioni nell'intervallo $[0;3pi]$ allora devi immaginare di dovere trovare le soluzioni in un giro completo, i.e. una bella circonferenza completa con angoli da $0$ a $2pi$ (e le soluzioni quì le hai trovate), più un altro mezzo giro, i.e. una bella mezza circonferenza con angoli che partono non da $0$ ma da $2pi$ e arrivano non a $pi$ ma a $3pi$: se fai scorrere i lati come lancetto d'orologio noti che dopo un giro, nello scorrere del mezzo giro ulteriore, torni su $pi/4$, ma ci torni dopo mezzo giro, i.e. $pi/4 + pi$, e torni anche su $3/4 pi$ ma dopo mezzo giro, i.e. $3/4 pi + pi$.
$pi$ è l'angolo piatto, i.e. mezzo giro, $2 pi$ è l'angolo giro, i.e. un giro completo, $3 pi= 2 pi + pi$, i.e. un giro completo più mezzo giro. Se devi trovare le soluzioni nell'intervallo $[0;3pi]$ allora devi immaginare di dovere trovare le soluzioni in un giro completo, i.e. una bella circonferenza completa con angoli da $0$ a $2pi$ (e le soluzioni quì le hai trovate), più un altro mezzo giro, i.e. una bella mezza circonferenza con angoli che partono non da $0$ ma da $2pi$ e arrivano non a $pi$ ma a $3pi$: se fai scorrere i lati come lancetto d'orologio noti che dopo un giro, nello scorrere del mezzo giro ulteriore, torni su $pi/4$, ma ci torni dopo mezzo giro, i.e. $pi/4 + pi$, e torni anche su $3/4 pi$ ma dopo mezzo giro, i.e. $3/4 pi + pi$.
D'accordissimo con te....la cosa su cui non mi trovo è che il libro dà come risultati, oltre a quelli da me inizialmente trovati, anche $9/4 \pi$ e $11/14 \pi$ metre, se ho capito bene il tuo ragionamento, comunque gli altri due angoli dovrebbero essere $5/4 \pi$ e $7/4 \pi$.
Ho capito male la tua ottima spiegazione?
Ho capito male la tua ottima spiegazione?
Errore mio: quando fai il giro completo aggiungi $2pi$ non $pi$. Il testo ha ragione, sono io che sto fuso... chiedo venia.
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