Equazioni goniometriche applicate ai problemi
Ciao a tutti, ho visto che nel Ferrauto le risolventi dei problemi di trigonometria vengono semplificate, vi faccio un esempio: la mia $ sin(pi/3-x)+sin(pi/6+x)+sinx+cosx=1+sqrt(3) $ viene abbreviata in $ cos(x-pi/6)=1 $, come posso fare la "trasformazione"?
Risposte
Sviluppa i seni delle somme/differenze, somma tutto quello che puoi, dividi i coefficienti per $1+sqrt3$, troverai lo sviluppo della formula proposta dal testo.
Mh, qualche trucchetto in più, magari per evitare un po' di conti nel compito? E soprattutto, conviene questa trasformazione?
Qualche volta ci sono delle scorciatoie, ma questa volta non ne vedo.
Se non pensi che sia conveniente avere una unica funzione di un unico angolo usa qualche altro metodo. Per me questo è il migliore, ma io ho studiato sul Ferrauto.
Se non pensi che sia conveniente avere una unica funzione di un unico angolo usa qualche altro metodo. Per me questo è il migliore, ma io ho studiato sul Ferrauto.
Un sistema ci sarebbe ma non è un trucco. In effetti è un vero e proprio metodo applicabile alle equazioni lineari in seno e coseno e che non richiede la conoscenza del risultato finale , come proposto dal testo. Sulla convenienza del procedimento ognuno può giudicare ....in proprio , dato che ci sono altri metodi per la risoluzione di questo tipo di equazione.
Sia data dunque l'equazione ( con eventuali limitazioni ) del tipo:
(0) \(\displaystyle a \sin x+b \cos x=c\)
A questo punto poniamo :
(1) \( \displaystyle \begin{cases} a=\sqrt{a^2+b^2} \sin \alpha \\ b=\sqrt{a^2+b^2} \cos \alpha \end{cases} \)
Sostituendo le (1) in (0) si ha :
\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2} (\sin \alpha \sin x+\cos{\alpha} \cos x)=c \)
oppure :
(2) \(\displaystyle \cos (x-\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
dove \(\displaystyle \alpha \) si può ricavare dalle (1) stando attenti ai segni di a e b.
Nel nostro caso , dopo aver fatto come dice Amelia,l'equazione si riduce a:
\(\displaystyle \sin x+\sqrt 3 \cos x=2\)
con \(\displaystyle a=1,b=\sqrt 3,c=2 \)
Quindi per le (1) si ha;
\(\displaystyle \begin{cases} 1=2 \sin \alpha \\ \sqrt 3=2 \cos \alpha \end{cases}\)
da cui si ricava subito che : \(\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} \)
ed allora la (2 ) diventa:
\(\displaystyle \cos (x-\frac{\pi}{6})=1 \)
C.V.D.
Sia data dunque l'equazione ( con eventuali limitazioni ) del tipo:
(0) \(\displaystyle a \sin x+b \cos x=c\)
A questo punto poniamo :
(1) \( \displaystyle \begin{cases} a=\sqrt{a^2+b^2} \sin \alpha \\ b=\sqrt{a^2+b^2} \cos \alpha \end{cases} \)
Sostituendo le (1) in (0) si ha :
\(\displaystyle \sqrt{a^2+b^2} (\sin \alpha \sin x+\cos{\alpha} \cos x)=c \)
oppure :
(2) \(\displaystyle \cos (x-\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}} \)
dove \(\displaystyle \alpha \) si può ricavare dalle (1) stando attenti ai segni di a e b.
Nel nostro caso , dopo aver fatto come dice Amelia,l'equazione si riduce a:
\(\displaystyle \sin x+\sqrt 3 \cos x=2\)
con \(\displaystyle a=1,b=\sqrt 3,c=2 \)
Quindi per le (1) si ha;
\(\displaystyle \begin{cases} 1=2 \sin \alpha \\ \sqrt 3=2 \cos \alpha \end{cases}\)
da cui si ricava subito che : \(\displaystyle \alpha = \frac{\pi}{6} \)
ed allora la (2 ) diventa:
\(\displaystyle \cos (x-\frac{\pi}{6})=1 \)
C.V.D.
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