Equazioni goniometriche
$tg(2x+pi/5)=tg(5x+pi/3)$
Ho applicato le condizioni di esistenza, dopodiché ho applicato la regola:
$(2x+pi/5)=(5x+pi/3)+kpi$
Risolvendo i calcoli, ottengo: $x=-(2/45)pi+kpi/3$
Il risultato presente sul libro, è: $x=(43/45)pi+kpi/3$
Non riesco a capire dove sbaglio.
Grazie.
Ho applicato le condizioni di esistenza, dopodiché ho applicato la regola:
$(2x+pi/5)=(5x+pi/3)+kpi$
Risolvendo i calcoli, ottengo: $x=-(2/45)pi+kpi/3$
Il risultato presente sul libro, è: $x=(43/45)pi+kpi/3$
Non riesco a capire dove sbaglio.
Grazie.
Risposte
Le due espressioni sono equivalenti. Prova a porre $k=3$ nella prima e $k=0$ nella seconda per esempio
Non capisco perché dovrei aggiungere quei valori.
Nel modo come l ho risolta io è corretta? Se si, perché il risultato non combacia con quello del libro?
Nel modo come l ho risolta io è corretta? Se si, perché il risultato non combacia con quello del libro?
$-(2/45)*pi+k*pi/3=43/45*pi+k*pi/3$
"kobeilprofeta":
$-(2/45)*pi+k*pi/3=43/45*pi+k*pi/3$
... mmmm ... guarda che se risolvi questa ti viene $0=pi$ che non mi sembra un'uguaglianza
Anch'io sono convinto dell'uguaglianza delle due soluzione ma non credo si dimostri così ...
Cordialmente, Alex
Manca la tangente ... nel senso che dovresti ritornare all'equazione iniziale e allora si che torna 
(o dovrebbe tornare, non ho verificato ... 
)
(o dovrebbe tornare, non ho verificato ... )
Ti faccio un esempio per farti capire:
A) se scrivo $pi/2+k*pi$ vuole dire che intendo infiniti valori (sostituendo a $k$ ogni numero relativo, cioè tipo $-pi/2$,$pi/2$,$3/2*pi$,etc...
B) se scrivo $5/2*pi+k*pi$ analogamente a prima intendo sempre $7/2*pi$,$5/2*pi$, ... , ma anche $-pi/2$,$pi/2$,etc...
Da ció concludo che sono equivalenti e posso verificarlo ponendo $k=1$ nella A) e $k=0$ nella B) per esempio...
A) se scrivo $pi/2+k*pi$ vuole dire che intendo infiniti valori (sostituendo a $k$ ogni numero relativo, cioè tipo $-pi/2$,$pi/2$,$3/2*pi$,etc...
B) se scrivo $5/2*pi+k*pi$ analogamente a prima intendo sempre $7/2*pi$,$5/2*pi$, ... , ma anche $-pi/2$,$pi/2$,etc...
Da ció concludo che sono equivalenti e posso verificarlo ponendo $k=1$ nella A) e $k=0$ nella B) per esempio...
Non capisco.
Dalla mia soluzione, che calcolo ulteriore dovrei fare per ottenere quella del libro? Diamo quei valori a $k$ perchè conosciamo il risultato riportato sul libro. Altrimenti? Come avremmo fatto?
Non sono convinto. Datemi una spiegazione, se potete.
Grazie.
Dalla mia soluzione, che calcolo ulteriore dovrei fare per ottenere quella del libro? Diamo quei valori a $k$ perchè conosciamo il risultato riportato sul libro. Altrimenti? Come avremmo fatto?
Non sono convinto. Datemi una spiegazione, se potete.
Grazie.
Sono la stessa cosa. Se tu sostituisci quei valori nella funzione originale troverai che viene verificata (per entrambi)
L'uguaglianza di kobeilprofeta ti dice che i due angoli trovati (il tuo e quello del libro) differiscono di $pi$; ma la tangente è una funzione che ha periodo proprio uguale a $pi$. ok?
L'uguaglianza di kobeilprofeta ti dice che i due angoli trovati (il tuo e quello del libro) differiscono di $pi$; ma la tangente è una funzione che ha periodo proprio uguale a $pi$. ok?
ok. grazie.
$tan(pi/4)+1=0$
$x=-pi-4kpi$
Vorrei sapere se è la stessa cosa scrivere il valore $4kpi$ con il segno più o con il segno meno. Mi sorge il dubbio perchè in altri esercizi il primo termine è negativo mentre la periodicità dello stesso è considerata positiva: es. $-(pi/9)+k(pi/3)$
Grazie.
$x=-pi-4kpi$
Vorrei sapere se è la stessa cosa scrivere il valore $4kpi$ con il segno più o con il segno meno. Mi sorge il dubbio perchè in altri esercizi il primo termine è negativo mentre la periodicità dello stesso è considerata positiva: es. $-(pi/9)+k(pi/3)$
Grazie.
Secondo me sì, dato che $k$ può assumere qualsiasi valore intero, sia positivo che positivo (e nullo ovviamente); quindi è indifferente. IMHO.
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
"sentinel":
$tan(pi/4)+1=0$
$x=-pi-4kpi$
Forse volevi scrivere così:
$tan(x/4)+1=0->x=-pi-4kpi$
"chiaraotta":
[quote="sentinel"]$tan(pi/4)+1=0$
$x=-pi-4kpi$
Forse volevi scrivere così:
$tan(x/4)+1=0->x=-pi-4kpi$[/quote]
si
Si. Ho sbagliato a scrivere.
Confermi che è la stessa cosa?
Sì:
$x=-pi +4kpi$
o
$x=-pi -4kpi$
sono due modi diversi di scrivere le stesse soluzioni.
$x=-pi +4kpi$
o
$x=-pi -4kpi$
sono due modi diversi di scrivere le stesse soluzioni.
Ho problemi nel risolvere la seguente equazione goniometrica riducibile a eq. elementare:
$sinx+sqrt3sin(x/2)$
Ho provato a portare il secondo termine al secondo membro e ad elevare entrambi i membri al quadrato:
$sin^2(x)=3sin^2(x/2)$
Ho applicato la formula di bisezione ed ottengo: $sin^2(x)=3[(1-cosx)/2]$.
Con elementari trasformazioni, ottengo una equazione completa di secondo grado: $2cos^2(x)-3cosx+1=0$
Risolvendola in $cosx$, ottengo: $cosx=1$ segue $x=2kpi$ e $cosx=1/2$ segue $x=pmpi/3+2kpi$
Questa seconda soluzione, dovrebbe uscire: $x=5/3(pi)+4kpi$ Vel $7/3(pi)+4kpi$
Dove sbaglio?
$sinx+sqrt3sin(x/2)$
Ho provato a portare il secondo termine al secondo membro e ad elevare entrambi i membri al quadrato:
$sin^2(x)=3sin^2(x/2)$
Ho applicato la formula di bisezione ed ottengo: $sin^2(x)=3[(1-cosx)/2]$.
Con elementari trasformazioni, ottengo una equazione completa di secondo grado: $2cos^2(x)-3cosx+1=0$
Risolvendola in $cosx$, ottengo: $cosx=1$ segue $x=2kpi$ e $cosx=1/2$ segue $x=pmpi/3+2kpi$
Questa seconda soluzione, dovrebbe uscire: $x=5/3(pi)+4kpi$ Vel $7/3(pi)+4kpi$
Dove sbaglio?
Se l'equazione è
$sinx+sqrt(3)sin(x/2)=0$
si potrebbe notare che $sinx=sin(2 x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)$ e risolvere così:
$2sin(x/2)cos(x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0$
$sin(x/2)(cos(x/2)+sqrt(3)/2)=0$
$sin(x/2)=0 vv cos(x/2)=-sqrt(3)/2$
$x/2=kpi vv x/2=+-5/6pi+2kpi$
$x=2kpi vv x=+-5/3pi+4kpi$
$sinx+sqrt(3)sin(x/2)=0$
si potrebbe notare che $sinx=sin(2 x/2)=2sin(x/2)cos(x/2)$ e risolvere così:
$2sin(x/2)cos(x/2)+sqrt(3)sin(x/2)=0$
$sin(x/2)(cos(x/2)+sqrt(3)/2)=0$
$sin(x/2)=0 vv cos(x/2)=-sqrt(3)/2$
$x/2=kpi vv x/2=+-5/6pi+2kpi$
$x=2kpi vv x=+-5/3pi+4kpi$
Ho capito il metodo di risoluzione che hai postato.
Però adesso mi tornerebbe utile capire perchè è sbagliato il mio.
Grazie per l'aiuto.
Però adesso mi tornerebbe utile capire perchè è sbagliato il mio.
Grazie per l'aiuto.
L'equazione
$sinx=-sqrt3sin(x/2)$
non è equivalente a
$sin^2(x)=3sin^2(x/2)$.
Nella seconda hai aggiunto delle soluzioni, che alla fine devi scartare.
$sinx=-sqrt3sin(x/2)$
non è equivalente a
$sin^2(x)=3sin^2(x/2)$.
Nella seconda hai aggiunto delle soluzioni, che alla fine devi scartare.
ok. grazie.
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