Equazioni frazionarie a coefficienti letterali

[HeadTrip1]

salve a tutti

volevo chiedere un chiarimento per la risoluzione delle equazioni frazionarie a coefficienti letterali

dunque,qui sto seguendo un esercizio svolto di esempio sul libro; io seguendolo ho fatto tutto lo svolgimento passaggio per passaggio e volevo chiedervi un paio di cose a riguardo in quanto c'e' qualcosa che non mi torna:

il testo e' questo: $a/x-1/(x+1)=(2a)/(x+1)$

$m.c.d.$ $x(x+1)$ quindi $C.A.$ $x!=0$ e $x!=-1$

e vado avanti nello svolgimento eliminando i denominatori,e quindi:

$a/x-1/(x+1)=(2a)/(x+1)$

$(a(x+1)-1*x)/(x(x+1))=(2a*x)/(x(x+1))$

$ax+a-x=2ax$

$ax-x-2ax=-a$

$-x-ax=-a$

$x+ax=a$

$(a+1)x=a$

ora la discussione:

Se $a+1!=0$

$((a+1)x)/(a+1)=a/(a+1)$

$x=a/(a+1)$


-fino a qui ci sono

-da qui in poi non ci sono piu'

il mio libro nell'esempio continua in questo modo,ma io non riesco a fare uno svolgimento passo passo che arrivi a questa soluzione:riporto cio' che e' scrittto testualmente

pero' $x$ deve essere diverso da $0$ e da $-1$,e quindi:

se$x=0$ -->$a/(a+1)=0$-->$a=0$ questo valore di $a$ dev'essere escluso

quest'esempio non lo capisco,innanzitutto perche' con $x=0$ mi pare che l equazione perda di significato,per cui non si potrebbe fare...poi non capisco come svolgerla passo passo per arrivare ad $a=0$,perche' partendo da questa espressione $(a+1)x=a$ se $x=0$ dovrei ottenere $0*x=a$ la quale risulterebbe impossibile e non $a=0$,poi non capisco per quale motivo abbia spostato sulla sinistra $a/(a+1)=0$

poi il libro continua con:

se$ x=-1$-->$a/(a+1)=-1$-->$a=-a-1$-->$a=-1/2$ questo valore di $a$ dev'essere escluso

ed anche qui i passaggi non li capisco...partendo sempre da qui $(a+1)x=a$

$(a+1)-1=a$

$-a-1=a$ e mi viene un casino.....poi il libro continua ma mi fermo qui per chiarire questi punti perche' e' inutile che vada avanti

[Nicole931]

tu hai trovato come soluzione , con $a+1!=0$ , $x=a/(a+1)$
ma avevi posto come C.A. $x!=0$ et $x!=-1$
a questo punto, poichè hai trovato x in funzione di a, devi andare a vedere per quali valori di a questa soluzione non sia accettabile, e cioè porre $x!=0 ->a/(a+1)!=0$ e analogamente per $x!=-1$ ; in entrambi i casi trovi i valori di a per i quali la soluzione non è accettabile
poi immagino che il libro prosegua considerando il caso che sia $a+1=0$ , valore che avevi escluso all'inizio della discussione

[HeadTrip1]

"Nicole93":tu hai trovato come soluzione , con $a+1!=0$ , $x=a/(a+1)$
ma avevi posto come C.A. $x!=0$ et $x!=-1$
a questo punto, poichè hai trovato x in funzione di a, devi andare a vedere per quali valori di a questa soluzione non sia accettabile, e cioè porre $x!=0 ->a/(a+1)!=0$ e analogamente per $x!=-1$ ; in entrambi i casi trovi i valori di a per i quali la soluzione non è accettabile

mi potresti pero' fare vedere i passaggi passo passo? perche' il discorso l ho capito(credo) pero' non capisco come ci si arrivi

per $a+1!=0$ hai visto che ho postato tutti i pasaggi per arrivare a quella soluzione

ponendo pero' $x=0$ e x=-1$ non riesco a fare i passaggi

poi immagino che il libro prosegua considerando il caso che sia $a+1=0$ , valore che avevi escluso all'inizio della discussione

si esatto

[Nicole931]

ecco i passaggi
$x!=0->a/(a+1)!=0->a!=0$ e finisce qui (commento, per $a=0$ soluzione non accettabile)
analogamente : $x!=-1->a/(a+1)!=-1->a!=-1/2$ (commento, per $a=-1/2$ soluzione non accettabile)

[HeadTrip1]

"Nicole93":ecco i passaggi
$x!=0->a/(a+1)!=0->a!=0$ e finisce qui (commento, per $a=0$ soluzione non accettabile)
analogamente : $x!=-1->a/(a+1)!=-1->a!=-1/2$ (commento, per $a=-1/2$ soluzione non accettabile)

ah ma in pratica non c'e' alcuna operazione da compiere....cioe' in pratica,siccome$x=a/(a+1)$ bisogna fare le condizioni di esistenza di $a$ che sarebbero $a!=0$ ?


per quanto riguarda invece il valore di $a=-1/2$ che dev'essere escluso,in pratica per cui la $C.A.$ sarebbe $a!=-1/2$ perche' ponendo $x=-1$ annullerebbe alcuni denominatori e per cui $a=-1/2$ non sarebbe accettabile

ci sono?

[Nicole931]

"HeadTrip":
ah ma in pratica non c'e' alcuna operazione da compiere....cioe' in pratica,siccome$x=a/(a+1)$ bisogna fare le condizioni di esistenza di $a$ che sarebbero $a!=0$ ?

la condizione su a deriva dalle C.A. , in quanto hai posto $x!=0$

"HeadTrip":per quanto riguarda invece il valore di $a=-1/2$ che dev'essere escluso,in pratica per cui la $C.A.$ sarebbe $a!=-1/2$ perche' ponendo $x=-1$ annullerebbe alcuni denominatori e per cui $a=-1/2$ non sarebbe accettabile

ci sono?

non invece, ma anche : si tratta della stessa situazione, solo che adesso consideri il fatto che sia $x!=-1$

[HeadTrip1]

ok grazie

ti posto 2 esecizi che ho fatto io,mi ci puoi dare un'occhiata per vedere se ci sono oppure faccio qualche errore nel ragionamento?

dovrebbero essere corrette ma ho bisogno di una conferma,ti posto anche i risultati del mio libro cosi' come li riporta,perche' credo di interpretare male qualcosa:

dunque il primo:

$(bx-2a)/x=b$

il risultato sul mio libro me lo da cosi' [$a=0$ : identita' per $x!=0$ , $a!=0$ : impossibile]

quindi vorrebbe dire che per $a=0$ dovrebbe essere indeterminata e verrebbe $x!=0$ (credo)

per $a=0$

$(bx-2*0)/x=b$

$(bx)/x=(bx)/x$ adesso siccome ho due monomi identici da una parte e dall altra li potrei eliminare entrambi,ma comunque posto i passaggi completi:

$bx-bx=0$
$(b-b)x=0$
$0*x=0$ e quindi indeterminata

per $a!=0$ riporto sempre il risultato [$a=0$ : identita' per $x!=0$ , $a!=0$ : impossibile] dovrei tener conto di quello dopo la virgola...

$(bx-2a)/x=b$

$(bx-2a)/x=(bx)/x$

$bx-2a=bx$

$bx-bx=2a$
$(b-b)x=2a$
$0*x=2a$ impossibile


questo e' il secondo esercizio:

$(a+x)/x=x/(x+a)$

il risultato sul libro dice: [$a!=0$ : $x=-a/2$ , $a=0$ : identita' per $x!=0$ ]

quindi Per $a!=0$

$((a+x)(x+a))/(x(x+a))=(x*x)/(x(x+a))$

$ax+a^2+x^2+ax=x^2$

$a^2+2ax+x^2=x^2$

$2ax+x^2-x^2=-a^2$

$((2a)x)/(2a)=(-a^2)/(2a)$

$x=-a/2$

ora per $a=0$ che il risultato lo interpreto come $ identita'$ per $x!=0$ come riporto qui [$a!=0$ : $x=-a/2$ , $a=0$ : identita' per $x!=0$ ] pero' anche per $x=0$ dovrebbe essere indeterminata se non sbaglio....per cui non capisco perche' mi dice cosi'

comunque lo svolgimento sarebbe:

$(0+x)/x=x/(x+0)$

$x/x=x/x$

$x=x$

$x-x=0$

$0*x=0$ quindi indeterminata

faccio qualche paciugo secondo te?

[Nicole931]

prima equazione : dopo aver ridotto al minimo comun denominatore, devi porre le $C.E. : x!=0$ , da cui deriva che se $x=0$, l'equazione è impossibile
supposto quindi $x!=0$, facendo i calcoli avrai : $-2a=0$, in quanto bx si elimina
se $a=0$ diventa un'identità, se $a!=0$ è impossibile

seconda equazione :

anche qui, dopo aver ridotto allo stesso denominatore, dovrai porre le C.E.(anche se mi pare di capire che il tuo testo, non so se è il Dodero, distingue tra C.E. e C.A.) : $x!=0$ et $x!=-a$
la condizione su di a va posta alla fine, cioè quando arrivi a:
$2ax=-a^2$ : è l'equazione ridotta in forma normale quella su cui si fa la discussione

a questo punto, prima di dividere ambo i membri per 2a, devi porre il coefficiente di x diverso da 0, perchè è solo sotto questa ipotesi che il risultato che andrai a scrivere è accettabile
quindi : per $a!=0$ la soluzione è : $x=-a/2$
se $a=0$ l'equazione diventa :$0=0$, quindi indeterminata

ora infine , come nell'esercizio dell'altra volta, poichè la a compare al denominatore, devi confrontare il risultato con ciò che hai escluso inizialmente, in quanto hai posto :$x!=-a$, e poichè hai trovato $x=-a/2$, dovrai porre $-a/2!=-a -> a!=0$, condizione che coincide con la precedente

spero di essere stata chiara