Equazioni esponenziali risolvibili con logaritmi
Salve a tutti, avrei un po di quesiti, tutti relativi alle esponenziali risolvibili con i logaritmi.
1) Perché a volte si usa il log e altre volte si usa LN – da cosa dipende l’utilizzo di uno o dell’altro (alcuni risultati di esercizi sono scritti con LN e altri con log ma non vedo il perché)
2) Quando al 2° membro (termini noti) compare una quantità negativa devo sempre trasformarla in positiva cambiandole di segno?
Chiedo aiuto anche nella risoluzione di questo esercizi:
esercizio 1)
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $
Trasformo i 4 in potenze di 2
Risultato finale prima dell’applicazione del log è
$ 2^x * 2 + 2^(2x) * 2^2 – 2^(2x) * 2^6 = 2^x $
Qui il libro applica il LN e non capisco perché, comunque applico anche io LN
$ Ln2^x + ln2 + ln2^(2x) + ln2^2 – ln2^(2x )+ ln2^6 = ln2^x $
Tutti I logaritmi con la x si annullano e mi rimangono solamente le quote numeriche, qui come procedo?
Il risultato è $ – ln20/ln2 $
Esercizio 2)
$ 3^x – 5*3^(1-x)<=2 $
$ 3^x – 5*3^1/3^x <= 2 $
Moltiplico entrambi i membri per $ 3^x $
$ 9x^2-15<= 2*3^x $
E qui non so come procedere
Il risultato è $ x<= log base 3 di 5 $
Esercizio 3)
$ 5*3^(1+x) + 6^(1-x)>0 $
$ 5*3^(1+x) + 6^1/6^x $
Applico il log
$ Log5+log3+xlog3+log6-xlog6$
$-xlog3+xlog6 < log6 + log3 + log5 $
Raccolgo la x
$ x*(log6 – log3)< log6+log3+log5 $
divido tutto per (log6-log3)
ottengo quindi
$ (xlog6+log3+log5)/(log6-log3) $
ll risultato del libro però è qualsiasi x appartenente a R
esercizio 4)
$ 9^(x-1 )+ 2*5^(1-2x) = 3^(2x-3) + 25^(1-x) $
Trasformo il 9 in potenza di 3 e il 25 in potenza di 5
$ 3^(2(x-1)) + 2*5^(1-2x )= 3^(2x-3) + 5^(2(1-x)) $
Applico i log a entrambi i membri
$ Log3^(2x-2) + log2 + log5^(1-2x) = log3^(2x-3) + log5^(2x-2) $
$ (2x-2)log3 + log2 + (1-2x)log5 = (2x-3)log3 + (2-2x)log5$
$2xlog3 – 2log3 + log2 + log5 – 2xlog5 = 2xlog3 – 3log3 + 2log5 – 2xlog5 $
Qui scompaiono tutti i termini con la x – come procedo?
Risultato = $ (log81+log5-log2)/(2log15) $
Esercizio 5)
$ 2*3^(x+1) – 3*2^(x+1 )< 2^(x+3) – 3^x $
Porto il $ -3*2^(x+1) $ a secondo membro e il $ 3^(x) $ al primo
$ 2*3^(x+1 ) + 3^x< 2^(x+3) +3*2^(x+1) $
Applico i Log
$ Log2 + log3^(x+1 )+ log3x < log2^(x+3) + log3 + log2^(x+1) $
$ Log2 + (x+1)log3 + xlog3 < (x+3)log2 + log3 + (x+1)log2$
$Log2 + xlog3 + log3 + xlog3 < xlog2 + 3log2 + log3 + xlog2 + log2 $
Elimino i termini simili e porto le x a sinistra
$ 2xlog3 – 2xlog2 < 3log2 $
Raccolgo la x ma non mi risulta
$ x<(log2)/(log3-log2) $
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!
1) Perché a volte si usa il log e altre volte si usa LN – da cosa dipende l’utilizzo di uno o dell’altro (alcuni risultati di esercizi sono scritti con LN e altri con log ma non vedo il perché)
2) Quando al 2° membro (termini noti) compare una quantità negativa devo sempre trasformarla in positiva cambiandole di segno?
Chiedo aiuto anche nella risoluzione di questo esercizi:
esercizio 1)
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $
Trasformo i 4 in potenze di 2
Risultato finale prima dell’applicazione del log è
$ 2^x * 2 + 2^(2x) * 2^2 – 2^(2x) * 2^6 = 2^x $
Qui il libro applica il LN e non capisco perché, comunque applico anche io LN
$ Ln2^x + ln2 + ln2^(2x) + ln2^2 – ln2^(2x )+ ln2^6 = ln2^x $
Tutti I logaritmi con la x si annullano e mi rimangono solamente le quote numeriche, qui come procedo?
Il risultato è $ – ln20/ln2 $
Esercizio 2)
$ 3^x – 5*3^(1-x)<=2 $
$ 3^x – 5*3^1/3^x <= 2 $
Moltiplico entrambi i membri per $ 3^x $
$ 9x^2-15<= 2*3^x $
E qui non so come procedere
Il risultato è $ x<= log base 3 di 5 $
Esercizio 3)
$ 5*3^(1+x) + 6^(1-x)>0 $
$ 5*3^(1+x) + 6^1/6^x $
Applico il log
$ Log5+log3+xlog3+log6-xlog6$
$-xlog3+xlog6 < log6 + log3 + log5 $
Raccolgo la x
$ x*(log6 – log3)< log6+log3+log5 $
divido tutto per (log6-log3)
ottengo quindi
$ (xlog6+log3+log5)/(log6-log3) $
ll risultato del libro però è qualsiasi x appartenente a R
esercizio 4)
$ 9^(x-1 )+ 2*5^(1-2x) = 3^(2x-3) + 25^(1-x) $
Trasformo il 9 in potenza di 3 e il 25 in potenza di 5
$ 3^(2(x-1)) + 2*5^(1-2x )= 3^(2x-3) + 5^(2(1-x)) $
Applico i log a entrambi i membri
$ Log3^(2x-2) + log2 + log5^(1-2x) = log3^(2x-3) + log5^(2x-2) $
$ (2x-2)log3 + log2 + (1-2x)log5 = (2x-3)log3 + (2-2x)log5$
$2xlog3 – 2log3 + log2 + log5 – 2xlog5 = 2xlog3 – 3log3 + 2log5 – 2xlog5 $
Qui scompaiono tutti i termini con la x – come procedo?
Risultato = $ (log81+log5-log2)/(2log15) $
Esercizio 5)
$ 2*3^(x+1) – 3*2^(x+1 )< 2^(x+3) – 3^x $
Porto il $ -3*2^(x+1) $ a secondo membro e il $ 3^(x) $ al primo
$ 2*3^(x+1 ) + 3^x< 2^(x+3) +3*2^(x+1) $
Applico i Log
$ Log2 + log3^(x+1 )+ log3x < log2^(x+3) + log3 + log2^(x+1) $
$ Log2 + (x+1)log3 + xlog3 < (x+3)log2 + log3 + (x+1)log2$
$Log2 + xlog3 + log3 + xlog3 < xlog2 + 3log2 + log3 + xlog2 + log2 $
Elimino i termini simili e porto le x a sinistra
$ 2xlog3 – 2xlog2 < 3log2 $
Raccolgo la x ma non mi risulta
$ x<(log2)/(log3-log2) $
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!
Risposte
La differenza tra $log$ e $ln$ è che il primo è in base 10 e il secondo in base $e$= costante di Nepero, negli esercizi base si può usare sia l'uno che l'altro perché gli usi diversi dipendono dal contesto. In "matematica pura" si preferisce il logaritmo naturale $ln$ che nelle derivate non crea costanti aggiuntive, in "matematica applicata" si usa più spesso quello in base 10, cioè $log$, perché è immediato avere una idea del suo valore.
Per gli esercizi, invece, un disastro.
Comincio con il primo
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $, lunico passaggio che va bene è quello di aver trasformato tutto in potenze di $2$, anche se non era necessario.
È possibile usare il passaggio al logaritmo SOLO nel caso in cui ci sia una forma del tipo $f(x)=g(x)$, ma non se ci sono di mezzo addizioni. Nel nostro caso, per portare in quella forma devi prima fare le addizioni, la trasformazione necessaria è $4*2^x+4*4^x-64*4^x = 2^x$, sommando gli addendi simili si ottiene $3*2^x = 60*4^x$ solo a questo punto è possibile applicare il logaritmo
$ln(3*2^x) = ln(60*4^x)$ poi si applicano i teoremi sui logaritmi
$ln3+xln2 = ln60+xln4$
$xln2-2xln2 = ln60 - ln3$
$-xln2 = ln(3*20) -ln3$
$-xln2= ln3+ln20-ln3$
$x= -(ln20)/ln2$
Esercizio 2
Ma secondo te quanto fa $3^x*3^x$? Riflettici un attimo, perché quel $9x^2$ non si può proprio vedere, come non si può vedere $9^(x^2)$.
Esercizio 3
Quando la somma di due numeri positivi è positiva?
Gli esercizi 4 e 5 puoi provarli da solo sulla falsariga del primo che ti ho svolto completamente.
Per gli esercizi, invece, un disastro.
Comincio con il primo
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $, lunico passaggio che va bene è quello di aver trasformato tutto in potenze di $2$, anche se non era necessario.
È possibile usare il passaggio al logaritmo SOLO nel caso in cui ci sia una forma del tipo $f(x)=g(x)$, ma non se ci sono di mezzo addizioni. Nel nostro caso, per portare in quella forma devi prima fare le addizioni, la trasformazione necessaria è $4*2^x+4*4^x-64*4^x = 2^x$, sommando gli addendi simili si ottiene $3*2^x = 60*4^x$ solo a questo punto è possibile applicare il logaritmo
$ln(3*2^x) = ln(60*4^x)$ poi si applicano i teoremi sui logaritmi
$ln3+xln2 = ln60+xln4$
$xln2-2xln2 = ln60 - ln3$
$-xln2 = ln(3*20) -ln3$
$-xln2= ln3+ln20-ln3$
$x= -(ln20)/ln2$
Esercizio 2
Ma secondo te quanto fa $3^x*3^x$? Riflettici un attimo, perché quel $9x^2$ non si può proprio vedere, come non si può vedere $9^(x^2)$.
Esercizio 3
Quando la somma di due numeri positivi è positiva?
Gli esercizi 4 e 5 puoi provarli da solo sulla falsariga del primo che ti ho svolto completamente.
"@melia":
La differenza tra $log$ e $ln$ è che il primo è in base 10 e il secondo in base $e$= costante di Nepero, negli esercizi base si può usare sia l'uno che l'altro perché gli usi diversi dipendono dal contesto. In "matematica pura" si preferisce il logaritmo naturale $ln$ che nelle derivate non crea costanti aggiuntive, in "matematica applicata" si usa più spesso quello in base 10, cioè $log$, perché è immediato avere una idea del suo valore.
Per gli esercizi, invece, un disastro.
Comincio con il primo
$ 2^(x+2) + 4^(x+1) – 4^(x+3) = 2^x $, lunico passaggio che va bene è quello di aver trasformato tutto in potenze di $2$, anche se non era necessario.
È possibile usare il passaggio al logaritmo SOLO nel caso in cui ci sia una forma del tipo $f(x)=g(x)$, ma non se ci sono di mezzo addizioni. Nel nostro caso, per portare in quella forma devi prima fare le addizioni, la trasformazione necessaria è $4*2^x+4*4^x-64*4^x = 2^x$, sommando gli addendi simili si ottiene $3*2^x = 60*4^x$ solo a questo punto è possibile applicare il logaritmo
$ln(3*2^x) = ln(60*4^x)$ poi si applicano i teoremi sui logaritmi
$ln3+xln2 = ln60+xln4$
$xln2-2xln2 = ln60 - ln3$
$-xln2 = ln(3*20) -ln3$
$-xln2= ln3+ln20-ln3$
$x= -(ln20)/ln2$
Esercizio 2
Ma secondo te quanto fa $3^x*3^x$? Riflettici un attimo, perché quel $9x^2$ non si può proprio vedere, come non si può vedere $9^(x^2)$.
Esercizio 3
Quando la somma di due numeri positivi è positiva?
Gli esercizi 4 e 5 puoi provarli da solo sulla falsariga del primo che ti ho svolto completamente.
Ciao grazie mille per le risposte! Gli esercizi, li ho rifatti, il numero 1 è venuto tranquillamente , il numero 2 ho scritto un idiozia colossale (come dire che la terra è piatta!!)- $ 3^(2x) $
L'esercizio 3, la somma di due numeri positivi è positiva quando entrambi i numeri sono positivi quindi essendo $ x(log6+log3)> -log6-log3-log5 $ quindi la parte di sinistra è sempre positiva qualsiasi valore di $ x $ in quanto il logaritmo non puo' mai essere negativo.
Gli esercizi 4 e 5 sono venuti perfettamente anche questi.
Mi confondevo pensando alla somma delle esponenziali come somma dei logaritmi. Grazie ancora per le risposte!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo