Equazioni esponenziali con logaritmi
Come si risolve questa equazione esponenziale risolubile mediante logaritmi
2^x-1 per 4^1+x fratto 3 = 6^1-x? Il risultato è log9 fratto log48
grazie in anticipo
2^x-1 per 4^1+x fratto 3 = 6^1-x? Il risultato è log9 fratto log48
grazie in anticipo
Risposte
Se vuoi risposte appropriate ti converrebbe scrivere meglio l'equazione, nel senso che ad esempio il (-1) dopo 2^x non si capisce se è all'esponente o è sottratto ad esso. Stessa cosa negli altri termini dell'equazione. Ti converrebbe mettere le dovute parentesi, o mandare una foto con l'equazione scritta in un foglio :)
riesco a farlo con paint ahahah, spero si capisca :)
Ciao,
comincio col darti un consiglio, per evitare che gli utenti che ti rispondono risolvano un esercizio diverso da quello che gli hai chiesto :) .
L'equazione che avevi scritto nel primo post era:
Se vuoi evitare errori e non sai usare LaTeX, puoi usare le parentesi:
[ 2^(x-1) * 4^(1+x) ] / 3 = 6^(1-x)
Questa equivale a quella che hai scritto.
Ora vediamo come risolverla.
La risoluzione è abbastanza meccanica. L'importante è capire bene i passaggi e usare le proprietà delle potenze e dei logaritmi. Dopodiché sarà tutto più semplice! Se qualche passaggio non è chiaro chiedi pure :)
Spero ti sia stato d'aiuto.
Ciao
comincio col darti un consiglio, per evitare che gli utenti che ti rispondono risolvano un esercizio diverso da quello che gli hai chiesto :) .
L'equazione che avevi scritto nel primo post era:
[math]
2^x - 1 \cdot 4^1 + \frac{x}{3} = 6^1 - x \\
[/math]
2^x - 1 \cdot 4^1 + \frac{x}{3} = 6^1 - x \\
[/math]
Se vuoi evitare errori e non sai usare LaTeX, puoi usare le parentesi:
[ 2^(x-1) * 4^(1+x) ] / 3 = 6^(1-x)
Questa equivale a quella che hai scritto.
Ora vediamo come risolverla.
[math]
\frac{2^{x-1} \cdot 4^{1+x}}{3} = 6^{1-x} \\
\frac{1}{3} \cdot \frac{2^x}{2} \cdot 4 \cdot 4^x = \frac{6}{6^x} \\
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot 3 \\
2^x \cdot 2^{2x} \cdot 2^x \cdot 3^x = 9 \\
2^{4x} \cdot 3^x = 9 \\
\log(2^{4x}\cdot{3^x}) = \log ( 3^2 ) \\
\log ( 2^{4x} ) + \log ( 3^x ) = 2 \log (3) \\
4x \log (2) + x \log (3) = 2 \log (3) \\
x [ 4 \log(2) + \log(3) ]= 2 \log (3) \\
x = \frac{ 2 \log(3)}{4 \log(2) + \log(3)} \\
x = \frac{ \log(9)}{\log(48)} \\
[/math]
\frac{2^{x-1} \cdot 4^{1+x}}{3} = 6^{1-x} \\
\frac{1}{3} \cdot \frac{2^x}{2} \cdot 4 \cdot 4^x = \frac{6}{6^x} \\
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot 3 \\
2^x \cdot 2^{2x} \cdot 2^x \cdot 3^x = 9 \\
2^{4x} \cdot 3^x = 9 \\
\log(2^{4x}\cdot{3^x}) = \log ( 3^2 ) \\
\log ( 2^{4x} ) + \log ( 3^x ) = 2 \log (3) \\
4x \log (2) + x \log (3) = 2 \log (3) \\
x [ 4 \log(2) + \log(3) ]= 2 \log (3) \\
x = \frac{ 2 \log(3)}{4 \log(2) + \log(3)} \\
x = \frac{ \log(9)}{\log(48)} \\
[/math]
La risoluzione è abbastanza meccanica. L'importante è capire bene i passaggi e usare le proprietà delle potenze e dei logaritmi. Dopodiché sarà tutto più semplice! Se qualche passaggio non è chiaro chiedi pure :)
Spero ti sia stato d'aiuto.
Ciao
Grazie mille davvero, ma non riesco a capire per niente i primi due passaggi :'(. Del primo non mi è chiara la prima parte dell'uguaglianza, nel secondo è il buio più totale :'( (scusami tanto, ma in matematica sono una vera frana) :no
Ciao,
nessun problema. Tutti cominciamo dall'inizio :) .
Sarò un po' lungo, ma le spiegazioni richiedono sempre un po' di tempo. Poi, una volta capito, sarà più veloce per te svolgere l'esercizio che rileggere la spiegazione ;)
Primo passaggio
Il
L'ho scritto così solo per comodità, per scrivere tutto in linea.
Per il resto abbiamo bisogno di conoscere due cose:
1.
Ad esempio:
2.
Quindi:
Come possiamo vedere, da
Secondo passaggio
1. Semplifichiamo
2.Portiamo a sinistra tutti i fattori con la
Ricordiamo che ogni frazione portata di là dall'uguale diventa il suo reciproco. In pratica, detto in modo per nulla matematico ma forse più efficace: le cose (solo quelle che sono moltiplicate o divise!) che stanno sopra, portandole dall'altra parte vanno sotto; quelle che stanno sotto vanno sopra. :)
Dimmi se ora è chiaro e, se non lo è, non farti problemi nel ridomandare. Se non hai capito è perché non ti ho spiegato qualche cosa che magari do per scontato. Siamo qui apposta. :)
Un consiglio: non cercare di capire tutti i passaggi solamente leggendoli. Prova anzi a scrivere il primo e poi prova a svolgere qualche operazione per arrivare al secondo. Datti come obiettivo quello di arrivare al passaggio successivo, non quello di arrivare in fondo all'esercizio. Vedrai che passaggio dopo passaggio acquisisci dimestichezza e ti verrà più facile svolgere anche gli altri.
Spero che ti sia stato d'aiuto.
Ciao :)
nessun problema. Tutti cominciamo dall'inizio :) .
Sarò un po' lungo, ma le spiegazioni richiedono sempre un po' di tempo. Poi, una volta capito, sarà più veloce per te svolgere l'esercizio che rileggere la spiegazione ;)
Primo passaggio
Il
[math]3[/math]
al denominatore è uguale a [math]\frac{1}{3}[/math]
L'ho scritto così solo per comodità, per scrivere tutto in linea.
Per il resto abbiamo bisogno di conoscere due cose:
1.
[math]a^{-k} = \frac{1}{a^k} \\[/math]
Ad esempio:
[math]2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2} \\[/math]
2.
[math]a^n \cdot a^m = a^{n+m} \\[/math]
Quindi:
[math]
2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = 2^x \cdot \frac{1}{2} = \frac{2^x}{2} \\
4^{1+x} = 4^1 \cdot 4^x = 4 \cdot 4^x \\
6^{1-x} = 6^1 \cdot 6^{-x} = 6 \cdot \frac{1}{6^x} = \frac{6}{6^x} \\
[/math]
2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = 2^x \cdot \frac{1}{2} = \frac{2^x}{2} \\
4^{1+x} = 4^1 \cdot 4^x = 4 \cdot 4^x \\
6^{1-x} = 6^1 \cdot 6^{-x} = 6 \cdot \frac{1}{6^x} = \frac{6}{6^x} \\
[/math]
Come possiamo vedere, da
[math]2^{x-1}=...[/math]
e da [math]6^{1-x}=...[/math]
abbiamo ricavato un'altra proprietà delle potenze:[math]\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}[/math]
Secondo passaggio
[math]
\frac{1}{3} \cdot \frac{2^x}{2} \cdot 4 \cdot 4^x = \frac{6}{6^x} \\
[/math]
\frac{1}{3} \cdot \frac{2^x}{2} \cdot 4 \cdot 4^x = \frac{6}{6^x} \\
[/math]
1. Semplifichiamo
[math]\frac{1}{3} \cdot 2^x \cdot 2 \cdot 4^x = \frac{6}{6^x} \\[/math]
2.Portiamo a sinistra tutti i fattori con la
[math]x[/math]
e a destra tutti quelli senza.Ricordiamo che ogni frazione portata di là dall'uguale diventa il suo reciproco. In pratica, detto in modo per nulla matematico ma forse più efficace: le cose (solo quelle che sono moltiplicate o divise!) che stanno sopra, portandole dall'altra parte vanno sotto; quelle che stanno sotto vanno sopra. :)
[math]
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \\
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot 3 \\
[/math]
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \\
2^x \cdot 4^x \cdot 6^x = 3 \cdot 3 \\
[/math]
Dimmi se ora è chiaro e, se non lo è, non farti problemi nel ridomandare. Se non hai capito è perché non ti ho spiegato qualche cosa che magari do per scontato. Siamo qui apposta. :)
Un consiglio: non cercare di capire tutti i passaggi solamente leggendoli. Prova anzi a scrivere il primo e poi prova a svolgere qualche operazione per arrivare al secondo. Datti come obiettivo quello di arrivare al passaggio successivo, non quello di arrivare in fondo all'esercizio. Vedrai che passaggio dopo passaggio acquisisci dimestichezza e ti verrà più facile svolgere anche gli altri.
Spero che ti sia stato d'aiuto.
Ciao :)
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