Equazioni esponenziali
Equazione:
\(\displaystyle \log x^2 + \frac{1}{\log x} = 3 \)
pensavo di risolvere così:
\(\displaystyle \log x^2 - 1 \log x = 3 \log 10 \)
e quindi "eliminando" il log risolvere l'equazione di secondo grado. Tuttavia la soluzione mi dice le radici non sono corrette. Potete vedere cosa c'è di sbagliato?
Se potete anche questo:
\(\displaystyle 25^{3x-2} - 25^{3x-3} = 5^{4x+1} - 5^{4x - 1} \)
ho riscritto il 25 come \(\displaystyle 5^2 \), fatti i conti "porto giù" gli esponenti e ottengo x=0, la soluzione invece mi dà x=5/2, se potete controllare. (è breve 3 minuti non di più)
Grazie, in anticipo!
Ciao
\(\displaystyle \log x^2 + \frac{1}{\log x} = 3 \)
pensavo di risolvere così:
\(\displaystyle \log x^2 - 1 \log x = 3 \log 10 \)
e quindi "eliminando" il log risolvere l'equazione di secondo grado. Tuttavia la soluzione mi dice le radici non sono corrette. Potete vedere cosa c'è di sbagliato?
Se potete anche questo:
\(\displaystyle 25^{3x-2} - 25^{3x-3} = 5^{4x+1} - 5^{4x - 1} \)
ho riscritto il 25 come \(\displaystyle 5^2 \), fatti i conti "porto giù" gli esponenti e ottengo x=0, la soluzione invece mi dà x=5/2, se potete controllare. (è breve 3 minuti non di più)
Grazie, in anticipo!
Ciao
Risposte
Attento! La formula a cui pensi è $log(1/x)=-1log x$ e nessuna formula si riferisce invece a $1/(logx)$; inoltre il logaritmo può essere "eliminato" solo quando c'è l'eguaglianza fra due logaritmi con la stessa base e non è il tuo caso. Il tuo esercizio si risolve invece con la sostituzione $y=logx$; dimmi tu come te la cavi con il $logx^2$. E' giusto dire che è uguale a $y^2$?
Nel secondo esercizio non si possono "portare giù" gli esponenti: è lecito solo quando hai l'eguaglianza fra due potenze con la stessa base. Ti faccio vedere solo i calcoli relativi al primo membro; verifica di averli capiti facendone di simili al secondo.
$25^(3x-2)-25^(3x-3)=25^(3x)*25^(-2)-25^(3x)*25^(-3)=25^(3x)(1/25-1/125)=5^(6x)*4/125$
Nel secondo esercizio non si possono "portare giù" gli esponenti: è lecito solo quando hai l'eguaglianza fra due potenze con la stessa base. Ti faccio vedere solo i calcoli relativi al primo membro; verifica di averli capiti facendone di simili al secondo.
$25^(3x-2)-25^(3x-3)=25^(3x)*25^(-2)-25^(3x)*25^(-3)=25^(3x)(1/25-1/125)=5^(6x)*4/125$
1) Ok, rispondo alla tua domanda: 
no!
\(\displaystyle y=\log_a x \rightarrow x=a^y \)
se la base è 10 \(\displaystyle \rightarrow x=10^y \rightarrow x^2=10^{2y}\)
quindi, sostituendo, ottengo:
\(\displaystyle \log10^{2y} + \frac{1}{y} = 3 \)
\(\displaystyle y\log10^{2y} - 3y + 1 = 0 \) (escludendo la soluzione y=0, oppure x=1; che non appartiene a \(\displaystyle R \))
moltiplicando \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 3 \) per \(\displaystyle \log_{10} 10 = 1 \)
posso semplificare, liberandomi dai logaritmi:
\(\displaystyle 2y^2 - 3y + 1 = 0 \)
risolvo l'eq di secondo grado: \(\displaystyle y_1=1 , \ y_2=1/2 \) (entrambe accettabili)
risostituisco: \(\displaystyle x=10^y \rightarrow 1) \ x_1=10^1=10; \ \ \ \ 2) \ x_2=10^{1/2}=\sqrt 10 \)
Sì
!
Ciao, Ely
dimmi tu come te la cavi con il \(\displaystyle \log x^2 \). E' giusto dire che è uguale a \(\displaystyle y^2 \)
no! \(\displaystyle y=\log_a x \rightarrow x=a^y \)se la base è 10 \(\displaystyle \rightarrow x=10^y \rightarrow x^2=10^{2y}\)
quindi, sostituendo, ottengo:
\(\displaystyle \log10^{2y} + \frac{1}{y} = 3 \)
\(\displaystyle y\log10^{2y} - 3y + 1 = 0 \) (escludendo la soluzione y=0, oppure x=1; che non appartiene a \(\displaystyle R \))
moltiplicando \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle 3 \) per \(\displaystyle \log_{10} 10 = 1 \)
posso semplificare, liberandomi dai logaritmi:
\(\displaystyle 2y^2 - 3y + 1 = 0 \)
risolvo l'eq di secondo grado: \(\displaystyle y_1=1 , \ y_2=1/2 \) (entrambe accettabili)
risostituisco: \(\displaystyle x=10^y \rightarrow 1) \ x_1=10^1=10; \ \ \ \ 2) \ x_2=10^{1/2}=\sqrt 10 \)
Sì
!Ciao, Ely
Esercizio 2)
Al primo membro risulta: \(\displaystyle 5^{6x} \left( \frac{24}{15625} \right) \)
al secondo membro: \(\displaystyle 5^{4x} \left( \frac{24}{5} \right) \)
Quindi
\(\displaystyle 5^{2x} = 3125 = 5^5 \)
\(\displaystyle \rightarrow \log_5 5^{2x} = \log_5 5^5 \)
\(\displaystyle \rightarrow 2x = 5 \rightarrow x=5/2 \)
Grazie,
Ely
Al primo membro risulta: \(\displaystyle 5^{6x} \left( \frac{24}{15625} \right) \)
al secondo membro: \(\displaystyle 5^{4x} \left( \frac{24}{5} \right) \)
Quindi
\(\displaystyle 5^{2x} = 3125 = 5^5 \)
\(\displaystyle \rightarrow \log_5 5^{2x} = \log_5 5^5 \)
\(\displaystyle \rightarrow 2x = 5 \rightarrow x=5/2 \)
Grazie,
Ely
Bene; aggiungo solo due astuzie per migliorare il tutto.
Nel primo esercizio era più rapido fare $logx^2=2logx=2y$.
Nel secondo esercizio vedo che hai corretto un mio errore di distrazione e me ne felicito; conveniva però non calcolare quel bruttissimo 15625 e lasciare al suo posto $25^3=(5^2)^3=5^6$
Nel primo esercizio era più rapido fare $logx^2=2logx=2y$.
Nel secondo esercizio vedo che hai corretto un mio errore di distrazione e me ne felicito; conveniva però non calcolare quel bruttissimo 15625 e lasciare al suo posto $25^3=(5^2)^3=5^6$
Va bene, grazie! 
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