Equazioni e Disequazioni irrazionali

[Bad90]

Sto risolvendo le equazioni e disequazioni irrazionali, riesco a risolvere con molta semplicità, solo che nella sostanza vorrei essere sicuro di aver compreso tutto in modo corretto!

Allora, per le equazioni se ho il caso $ sqrt(A(x)) = B(x) $, si deve considerare sempre un sistema in cui si impone $ B(x)>=0 $ perchè un quadrato non potrà mai dare un risultato $ <=0 $ , quindi il sistema è il seguente:

$ { ( sqrt(A(x)) = B(x) ),( B(x)>=0 ):}=>{ ( A(x) = (B(x))^2 ),( B(x)>=0 ):} $

Solo che adesso ho un piccolo dubbio, se ho $ sqrt(A(x)) = sqrt(B(x)) $, nel sistema, quale delle due si deve imporre $ >=0 $

Mentre poi ancora, se ho $ root4(A(x)) = sqrt(B(x)) $ il testo mi fa vedere che bisogna imporre entrambi $ >=0 $, cioè così:

$ { ( A(x) = (B(x))^2 ),( A(x)>=0 ),( B(x)>=0 ):} $

Perchè bisogna imporre entrambi maggiore uguale di zero in questo ultimo caso??

[Bad90]

Allora, penso di aver compreso, ma chiedo a voi una conferma....

Nella seguente:

$ { ( sqrt(A(x)) = B(x) ),( B(x)>=0 ):}=>{ ( A(x) = (B(x))^2 ),( B(x)>=0 ):} $

Mi sembra ovvio impostare $ B(x)>=0 $ , perchè per natura, il quadrato a sinistra, deve essere per forza un numero $ >=0 $ , quindi bisogna imporre che a destra ci sia un qualcosa di $ >=0 $ , mentre è inutile scriverlo a sinistra perchè un quadrato è sempre $ >=0 $.

Se ci fosse data la seguente $ root3 (A(x)) = root3(B(x) $ , essendo una radice di indice pari, non c'è di bisogno imporre una condizione, perchè un numero negativo sotto una radice dispari, è sempre positivo!

Se invece ci fosse $ sqrt (A(x)) = sqrt(B(x) $, bene, in questo caso bisogna imporre per entrambi i membri la condizione $ A(x) >= 0 $ e $ B(x)>= 0 $ , perchè ci potrebbe essere la possibilità che sotto la radice ci sia qualcosa di negativo!

Spero di essere stato preciso nello spiegare!

[Bad90]

Ho risolto la seguente disequazione:

$ x-2 <= sqrt((x^3 - 1)/(x+2)) $

Che penso proprio possa essere scritta nel seguente modo:

$ sqrt((x^3 - 1)/(x+2)) >=x-2 $

Ho impostato il seguente sistema:

$ { (( x^3 - 1)/(x+2) >= 0),( (x^3 - 1)/(x+2) >=(x-2)^2 ):} $

Risolvendo la prima, sono arrivato alla giusta conclusione che $ x<-2 $ e $ x>=1 $ , solo che non so se ho fatto bene a considerare la seconda equazione, perchè in questo caso mi sembra inutile!
Infatti se considero la seconda disequazione, non mi trovo più con il risultato corretto che mi da il testo e che ho trovato considerando solo la prima disequazione!

Cosa ne dite

[giammaria2]

Penultimo post
Perfetto, hai capito bene. Volendo, nell'ultimo caso si può imporre una sola delle due condizioni, a tua scelta: se i due radicandi sono uguali ed uno non è negativo, neanche l'altro lo è. Per prudenza non è però male imporre entrambe le condizioni.

Ultimo post
No, hai sbagliato. La soluzione delle disequazioni irrazionali è diversa a seconda che la radice sia, come suol dirsi, "dalla parte del minore" o "dalla parte del maggiore": tu sei nel secondo caso. Potrei indicarti qui il metodo, ma credo più rapido invitarti ad andare a rileggere il thread che, se non ricordo male, tu stesso avevi aperto sulle disequazioni irrazionali. Se permangono dei dubbi, scrivi di nuovo.

[Bad90]

"giammaria":

Ultimo post
No, hai sbagliato. La soluzione delle disequazioni irrazionali è diversa a seconda che la radice sia, come suol dirsi, "dalla parte del minore" o "dalla parte del maggiore": tu sei nel secondo caso. Potrei indicarti qui il metodo, ma credo più rapido invitarti ad andare a rileggere il thread che, se non ricordo male, tu stesso avevi aperto sulle disequazioni irrazionali. Se permangono dei dubbi, scrivi di nuovo.

Non mi è chiaro tanto quando dici "dalla parte del minore" o "dalla parte del maggiore", comunque intuitivamente mi viene di dire che bisogna imporre il seguente sistema:

$ { ((x+2) >= 0),( (x^3 - 1)/(x+2) >=(x-2)^2 ):} $

Dici questo????
Cioè devo dare per scontato che la radice sia sempre positiva ma essendoci a secondo membro una incognita, dobbiamo imporre che sia $ >=0 $ per dare una certa coerenza????

Dici questo

Oppure ti riferisci a questo??


Richiamo il link:

viewtopic.php?f=11&t=97922&start=80

[giammaria2]

Giusta la seconda ipotesi. Per "radice dalla parte del maggiore" intendevo che, guardando il simbolo $<$ oppure $>$ la radice è nel posto in cui metteresti il numero più grande; la tua disequazione può essere
$B(x)B(x)$
che, come vedi, dicono la stessa cosa.

[Bad90]

Scusami, ma se la disequazione è la seguente:

$ sqrt((x^3 - 1)/(x+2)) >=x-2 $

Il sistema da risolvere è il seguente:

$ { ( (x^3 - 1)/(x+2) >=0),( x-2<0 ):}uu{ ( x-2>=0),( (x^3 - 1)/(x+2) >=(x-2)^2 ):} $

E perchè non riesco ad arrivare alla conclusione

Sarà banale, ma non sto proprio riuscendo a risolverla

Help

[giammaria2]

L'impostazione è giusta; avrai sbagliato qualche calcolo e per controllare ti do qualche risultato intermedio.
Il primo sistema ha come soluzione $1<=x<2$.
Il secondo sistema ha calcoli po' più laboriosi; salvo errori, la soluzione della seconda disequazione è $(-2-sqrt22)/2<=x<2 vv x>=(-2+sqrt2)/2$; intersecandola con la prima trovi che la soluzione del sistema è $x>=2$.
Devi ora unire le soluzioni dei due sistemi ed ottieni $x>=1$.

[Bad90]

"giammaria":L'impostazione è giusta; avrai sbagliato qualche calcolo e per controllare ti do qualche risultato intermedio.
Il primo sistema ha come soluzione $1<=x<2$.

Scusami, ma per il primo sistema, hai detto che la soluzione è $1<=x<2$ e sono pienamente d'accordo, in quanto si ha una intersezione in $1<=x<2$, ma vedo che si ha anche una intersezione per $x< -2$, perchè non bisogna considerarla

Scusami, ma poi quando ho la soluzione di una equazione quadratica, bisogna prendere o una o l'altra soluzione, giusto?
Intendo che se ho $ x^2 = 4 $ le soluzioni sono o $ x =2 $ oppure $ x =-2 $ e se si intersecano i risultati di questa disequazione che es. sto considerando, cioè $ x > 2 $oppure $ x > -2 $ con una disequazione che ha solo un risultato es.$ x > 3 $, mi sembra ovvio che il risultato dovuto all'intersezione porta a considerare $ x > 3 $ e quindi il risultato $ x > -2 $ della prima disequazione non porta a nessun risultato, giusto

P.s. Penso che il testo mi ha dato un risultato sbagliato, dice che deve essere $ x<-2 $, $ x>=1 $

[giammaria2]

"Bad90":Scusami, ma per il primo sistema ...vedo che si ha anche una intersezione per $x< -2$, perchè non bisogna considerarla

Ho sbagliato nel copiare la mia soluzione: c'è anche $x<-2$, e quindi ci sarà anche nella soluzione finale, che diventa uguale a quella del testo.
Per le disequazioni di secondo grado stai facendo un po' di confusione: quello che dici va bene per le equazioni ma non per le disequazioni. In particolare:
- se hai $x^2-4>0$ ti interessano i valori esterni alle soluzioni, cioè $x<-2vvx>2$; la sua intersezione con $x>3$ dà effettivamente $x>3$ mentre l'intersezione con $x>1$ dà $x>1$;
- se hai $x^2-4<0$ ti interessano i valori interni alle soluzioni, cioè $-23$ dà "mai verificato" mentre l'intersezione con $x>1$ dà $1

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[Bad90]

"giammaria":[quote="Bad90"]Scusami, ma per il primo sistema ...vedo che si ha anche una intersezione per $x< -2$, perchè non bisogna considerarla

Ho sbagliato nel copiare la mia soluzione: c'è anche $x<-2$, e quindi ci sarà anche nella soluzione finale, che diventa uguale a quella del testo.
Per le disequazioni di secondo grado stai facendo un po' di confusione: quello che dici va bene per le equazioni ma non per le disequazioni. In particolare:
- se hai $x^2-4>0$ ti interessano i valori esterni alle soluzioni, cioè $x<-2vvx>2$; la sua intersezione con $x>3$ dà effettivamente $x>3$ mentre l'intersezione con $x>1$ dà $x>1$;
- se hai $x^2-4<0$ ti interessano i valori interni alle soluzioni, cioè $-23$ dà "mai verificato" mentre l'intersezione con $x>1$ dà $1
Perfetto, adesso ho chiarito il mio dubbio sulle disequazioni!

[Bad90]

Scusatemi, ma se io ho la seguente disequazione:

$ (x^4 -3x -4)/(x^2 -2)<0 $

Quali sono i risultati?
Mi spiego,.............
Per il numeratore avro' l'equazione associata che dara':

$ x = +-2 $

Mentre il denominatore dara':

$ x = +-sqrt2 $

Quali settori devo cercare quando faccio il grafico dei segni???

[chiaraotta1]

"Bad90":Scusatemi, ma se io ho la seguente disequazione:
$ (x^4 -3x -4)/(x^2 -2)<0 $
....
Per il numeratore avro' l'equazione associata che dara':
$ x = +-2 $

Non è così.

[Bad90]

Scusami, ma allora l'equazione associata cosa dara'???

[burm87]

Come hai fatto a trovare $+-2$ come soluzioni del numeratore?

[Bad90]

"burm87":Come hai fatto a trovare $+-2$ come soluzioni del numeratore?

Essendo una equazione associata biquadratica, l'unica soluzione ammissibile e' $ x^2 = 4 $ che porta a quei due risultati!
Mentre la seconda soluzione della biquadratica da $ x^2 = -1 $ , che e' evidente assurda!
Non capisco dove ho potuto sbagliare!?!?!

[burm87]

Ma come può essere biquadratica se manca la $x^2$?

[Bad90]

"burm87":Ma come può essere biquadratica se manca la $x^2$?

Scusami, ho dimenticato a scriverla, comunque c'e'!
Scusatemi!

[giammaria2]

@ Bad90. E dicevi di aver capito le disequazioni di secondo grado! Provo a spiegarti come trattare il numeratore, supponendo che tu abbia dimenticato di scrivere un esponente e che fosse veramente una biquadratica. La disequazione $N>0$ è
$x^4-3x^2-4>0$
e le soluzioni dell'equazione associata sono effettivamente $4,-1$. Ci interessano i valori esterni, quindi otteniamo
$x^2<-1 vvx^2>4$
La prima disequazione non è mai verificata ma, trattandosi di unione, ci basta che sia verificata la seconda. Le soluzioni dell'equazione associata sono $x=+-2$ ed anche qui ci interessano i valori esterni; otteniamo quindi
$x<-2vvx>2$.

Ti propongo un esercizio per controllare che non ci siano altri problemi: come risolveresti $x^4-5x^2+4>0$ ?
E se fosse $x^4-5x^2+4<0$ ?

[Bad90]

Allora, la seguente:

$ x^4 -5x^2 + 4 >0 $

Porta come soluzione $ x<-1^^x>1 $

Mente la seguente $ x^4 -5x^2 + 4 <0 $

Porta come soluzione $ -2

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[burm87]

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