Equazioni e Disequazioni irrazionali

[Bad90]

Sto risolvendo le equazioni e disequazioni irrazionali, riesco a risolvere con molta semplicità, solo che nella sostanza vorrei essere sicuro di aver compreso tutto in modo corretto!

Allora, per le equazioni se ho il caso $ sqrt(A(x)) = B(x) $, si deve considerare sempre un sistema in cui si impone $ B(x)>=0 $ perchè un quadrato non potrà mai dare un risultato $ <=0 $ , quindi il sistema è il seguente:

$ { ( sqrt(A(x)) = B(x) ),( B(x)>=0 ):}=>{ ( A(x) = (B(x))^2 ),( B(x)>=0 ):} $

Solo che adesso ho un piccolo dubbio, se ho $ sqrt(A(x)) = sqrt(B(x)) $, nel sistema, quale delle due si deve imporre $ >=0 $

Mentre poi ancora, se ho $ root4(A(x)) = sqrt(B(x)) $ il testo mi fa vedere che bisogna imporre entrambi $ >=0 $, cioè così:

$ { ( A(x) = (B(x))^2 ),( A(x)>=0 ),( B(x)>=0 ):} $

Perchè bisogna imporre entrambi maggiore uguale di zero in questo ultimo caso??

[giammaria2]

Le soluzioni sono:
per la prima: $(x<-2)vv(-12)$
per la seconda: $(-2 Ho messo i risultati fra parentesi: sono superflue ma mi sembra che migliorino la leggibilità.
Ti consiglio di rivedere i calcoli e, se non vengono, postarli: vedremo dove sbagli.

[Bad90]

"giammaria":Le soluzioni sono:
per la prima: $(x<-2)vv(-12)$

Scusami, ma mi hai dato due casi che ti devo ringraziare, perchè mi stai facendo capire che non mi è chiaro il concetto!
Allora, ecco il grafico di quanto hai scritto per la prima!




Fammi capire come funzionano le biquadratiche!

Se non ho capito male, bisogna cercare tutti i settori che rendono positiva la disequazione, ok, fino al caso$(x<-2),(x>2)$ mi sembra chiaro, ma poi quando alla fine si da anche l'altro risultato$(-11)$, perchè bisogna considerare tutto contemporaneamente le linee tratteggiate per tutta la disequazione

Quando finisco di capire bene la prima, vorrò capire anche la seconda

[giammaria2]

Quando fai un grafico, ogni riga corrisponde alla soluzione di una disequazione. Quindi
- se una disequazione ha come soluzione $x<-2vvx>2$ disegni un'unica riga, continua prima di $-2$ e dopo $2$ e tratteggiata fra questi due numeri;
- se una disequazione ha come soluzione $-2
Altro esempio: se per proseguire tu dovessi riportare in grafico il risultato della seconda disequazione che ho proposto faresti un'unica linea, continua fra -2 e -1 nonché fra 1 e 2, tratteggiata altrove.

In modo analogo, quando vuoi unire i risultati di due sistemi, ogni riga corrisponde al risultato di un sistema.

Noto anche un altro errore: nella tua prima riga hai disegnato con tratto continuo il pezzo dopo il -2, ma questo significa "mi va bene questa zona, cioè voglio che sia $x> -2$": in realtà volevi indicare $x< -2$ e quindi dovevi scambiare fra loro parte tratteggiata e parte continua. Se non sbaglio, hai fatto lo stesso errore anche in un'altra riga.
Ci sarebbe anche qualche altra obiezione, ma cominciamo con questo.

[Bad90]

"giammaria":Quando fai un grafico, ogni riga corrisponde alla soluzione di una disequazione. Quindi
- se una disequazione ha come soluzione $x<-2vvx>2$ disegni un'unica riga, continua prima di $-2$ e dopo $2$ e tratteggiata fra questi due numeri;
- se una disequazione ha come soluzione $-2

Ok, ma io utilizzo fare andare sempre a destra la riga continua, che significa positiva, poi utilizzo il prodotto delle linee per dare il risultato, infatti, come vedi, ho utilizzato un evidenziatore per indicare dove le zone sono positive!

Insomma, uso porre nel grafico le soluzioni $ >0 $ , e poi faccio le conclusioni, dici che sbaglio

Tanto per farti capire, io riuscirei a fare le considerazioni che mi dici, cioè linea continua nella zona della soluzione che mi interessa, ma solo dopo aver fatto il grafico a modo mio?!?!?

Dici che non devo fare così?

Mi aiuti a ragionare

[giammaria2]

Nel grafico dei segni la linea continua significa positivo. Però confronta queste due disequazioni:
$x-2>0->x>2$
$2-x>0->x<2$
Sono due cose diverse e non puoi certo riportarle nello stesso modo: per la prima disequazione la linea continua è dopo il 2, per la seconda è prima del 2.
Ogni grafico poi si riferisce solo ad una cosa: possono essere i segni, o l'intersezione, o l'unione ma non due di queste. Capita spesso che per risolvere un esercizio occorrano anche 5 o 6 grafici.
Quando poi si arriva ad esercizi più complicati, la regola è quella che ti ho dato: il risultato di ogni disequazione sta tutto in una stessa riga.

[Bad90]

"giammaria":Nel grafico dei segni la linea continua significa positivo. Però confronta queste due disequazioni:
$x-2>0->x>2$
$2-x>0->x<2$
Sono due cose diverse e non puoi certo riportarle nello stesso modo: per la prima disequazione la linea continua è dopo il 2, per la seconda è prima del 2.
Ogni grafico poi si riferisce solo ad una cosa: possono essere i segni, o l'intersezione, o l'unione ma non due di queste. Capita spesso che per risolvere un esercizio occorrano anche 5 o 6 grafici.
Quando poi si arriva ad esercizi più complicati, la regola è quella che ti ho dato: il risultato di ogni disequazione sta tutto in una stessa riga.

Allora si che penso di non impallarmi se utilizzo più grafici

[giammaria2]

Ripensandoci, credo di aver capito la tua difficoltà ed è probabile che le mia risposte precedenti non chiarissero i tuoi dubbi; aggiungo quindi un'altra spiegazione.
Se ho ben capito, tu risolvi le disequazioni di secondo grado così:
- ti accerti che sia positivo il coefficiente di $x^2$;
- risolvi l'equazione associata;
- fai un grafico, disegnando la linea continua a destra delle soluzioni;
- ragionando sui segni, trovi le zone in cui la disequazione è verificata.
Se è così, è giusto, anche se io preferisco altri metodi che mi sembrano più rapidi. Però dopo aver risolto la disequazione non guardi più minimamente il grafico che hai fatto e ne fai altri: quando usi quella disequazione devi riportarne l'intero risultato su una sola linea, che in questo caso cambia due volte fra tratteggio e continua.

[Bad90]

Sei un fenomeno, hai capito perfettamente il mio metodo!

[giammaria2]

Mi fa piacere, ma la cosa importante è un'altra: tu hai capito quello che dico verso la fine, dopo il "Però"? Prova a rifare l'esercizio in questione e vedi se adesso viene.

[Bad90]

"giammaria":Però dopo aver risolto la disequazione non guardi più minimamente il grafico che hai fatto e ne fai altri: quando usi quella disequazione devi riportarne l'intero risultato su una sola linea, che in questo caso cambia due volte fra tratteggio e continua.

Perfetto, da adesso in poi userò il metodo che mi hai detto