Equazioni e disequazioni in seno e coseno

[Chiara Privitera]

Avrei bisogno di una mano con questa equazione:

[math]2sinxcosx = 1[/math]

E con queste disequazioni:

[math]
\frac{3-(tanx)^2}{sinx} > 0
\\
(2sinx - \sqrt{2})(2cosx-1) ≤ 0
\\
e^{sinx} - \sqrt{e} ≤ 0
\\
log_{3}{(sinx)} - log_{3}{(cosx)} ≤ \frac{1}{2}
[/math]

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.

[f3874de6c1206fe40aa32376201566557615d103]

Ciao,
ti risolvono l'equazione.
Per la regola di duplicazione del seno si ha che:

[math]2sinxcosx=sin2x[/math]

quindi l'equazione risulta:

[math]sin2x=1[/math]

;

[math]sin2x=sin(\frac{\pi}{2})[/math]

;

[math]2x=\frac{\pi}{2}[/math]

;

[math]x=\frac{\pi}{4}[/math]

.


Per le disequazioni prova a postare un tuo ragionamento.
Saluti :-)

[Chiara Privitera]

Ciao,
innanzitutto grazie per l'aiuto con l'equazione!

Per quanto riguarda le disequazioni... Sono riuscita a capire come risolvere le prime due, studiandone il segno al variare di x.

Per le ultime due invece.. non mi viene in mente niente.
Potresti darmi qualche "indizio"? :)

Grazie ancora e scusa per il ritardo.
Buona serata!

[nRT]

Ciao, le ultime due disequazioni si possono risolvere così:
1.

[math]
e^{\sin(x)} \le \sqrt{e} \\
\sin(x) \le \frac{1}{2} \\
- \frac{7}{6} \pi + 2k \pi \le x \le \frac{ \pi }{6} + 2k \pi , \ \ k \in \mathbb{Z} \\
[/math]

2.

[math]
\log_3 \left( \sin(x) \right) - \log_3 \left( \cos(x) \right) \le \frac{1}{2} \\
[/math]

Ricordiamo le condizioni di esistenza:

[math]\sin(x) > 0 \land \cos(x) > 0 \\[/math]

Dunque:

[math]
\log_3 \left( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \right) \le \frac{1}{2} \\
\tan(x) \le \sqrt{3} \\
2k\pi < x \le \frac{\pi}{3} + 2k \pi, \ \ k \in \mathbb{Z}
[/math]

Spero ti sia stato d'aiuto. Se hai dubbi su qualche cosa chiedi pure ;)

[Chiara Privitera]

Tutto chiaro..! grazie mille! :)