Equazioni e disequazioni esponenziali

[AppleRapple]

Salve voi porre alla vostra attenzione un paio di esercizi tra eq e diseq. esponenziali che nn ho capito bene (premetto che non so scrivere nel linguaggio matematico)
a) 35/2per1/5alla2x >o uguale di 0,7per5allax

b) 2per3alla2x-1 +9allax+1 -3alla2x+1

[BIT5]

Partiamo dalla seconda allora:

[math] 2 \cdot 3^{2x-1}+9^{x+1}-3^{2x+1} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Ricordiamo che:

[math] a^{m+n}=a^ma^n \\ a^{m-n}= \frac{a^m}{a^n}[/math]

Quindi

[math] \frac{2 \cdot 3^{2x}}{3^1}+9^x9^1-3^{2x}3^1< \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

E ancora ricordiamo che

[math] (a^m)^n=a^{m \cdot n} [/math]

pertanto ad esempio

[math]9^x=(3^2)^x=3^{2x} [/math]

Quindi

[math] \frac23 3^{2x}+9 \cdot 3^{2x}-3 \cdot 3^{2x}< \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Raccogliamo a sinistra:

[math] 3^{2x} (\frac23+9-3) < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

e dunque

[math] 3^{2x} ( \frac{2+27-9}{3} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

ovvero

[math] 3^{2x} \frac{20}{9} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} [/math]

[math] 3^{2x} < \frac{60}{\sqrt[5]{3}} \cdot \frac{9}{20} [/math]

[math] 3^{2x} < \frac{27}{\sqrt[5]{3}} [/math]

Quando hai una equazione/disequazione esponenziale, devi cercare di avere la stessa base.

Ricorda ancora dunque che:

[math] a= \sqrt[n]{a^n} [/math]

Quindi

[math] 3^{2x}< \frac{\sqrt[5]{(3^3)^5}}{\sqrt[5]{3}} [/math]

E sapendo che

[math] \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}= \sqrt[n]{\frac{a}{b}} [/math]

Avremo

[math] 3^{2x}< \sqrt[5]{\frac{3^{15}}{3}} \to 3^{2x}< \sqrt[5]{3^{14}} [/math]

Infine sapendo che

[math] \sqrt[n]{a^m}= a^{\frac{m}{n}} [/math]

avremo

[math] 3^{2x} 0 dal momento che 5 elevato a qualunque esponente sara' positivo.

Numeratore :

[math] 25-5^{3x} \ge 0 \to 5^{3x} \le 5^2 \to 3x \le 2 \to x \le \frac23 [/math]

Pertanto la soluzione sara'

[math] x \le \frac23 [/math]

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