Equazioni Differenziali Variabili Separate
Ciao a tutti,
avrei bisogno di qualche chiarimento circa questo argomento, in particolare la ricerca dei punti stazionari.
Per esempio:
$ y'=(4x+1)y $ per prima cosa mi accorgo che $y=0$ è una soluzione in quanto mi annulla anche la derivata $y'$, ergo è un punto stazionario. Quindi risolvo:
$ y=+-e^(2x^2+x+c)vv y=0 $
Prendiamone un altro:
$ 3y^2y'=x+1 $
$ y'=(x+1)/(3y^2) $ mi accorgo che non esiste un solo valore che dato ad $y$ la derivata $y'$ possa fare zero, quindi $y=0$ non è sicuramente una soluzione. Considerazioni corrette??
Prendiamo l'ultimo:
$ y'=y/(x^2-2x+1) $ in questo caso $y=0$ è una soluzione in quanto mi annulla anche la derivata $y'$. Però nel risultato il libro non riporta come soluzione $y=0$ bensì: $ y=ce^(-1/(x-1)) $ e non riesco a capire il perchè-
Grazie!
avrei bisogno di qualche chiarimento circa questo argomento, in particolare la ricerca dei punti stazionari.
Per esempio:
$ y'=(4x+1)y $ per prima cosa mi accorgo che $y=0$ è una soluzione in quanto mi annulla anche la derivata $y'$, ergo è un punto stazionario. Quindi risolvo:
$ y=+-e^(2x^2+x+c)vv y=0 $
Prendiamone un altro:
$ 3y^2y'=x+1 $
$ y'=(x+1)/(3y^2) $ mi accorgo che non esiste un solo valore che dato ad $y$ la derivata $y'$ possa fare zero, quindi $y=0$ non è sicuramente una soluzione. Considerazioni corrette??
Prendiamo l'ultimo:
$ y'=y/(x^2-2x+1) $ in questo caso $y=0$ è una soluzione in quanto mi annulla anche la derivata $y'$. Però nel risultato il libro non riporta come soluzione $y=0$ bensì: $ y=ce^(-1/(x-1)) $ e non riesco a capire il perchè-
Grazie!
Risposte
Nell'ultima equazione ricorda che al denominatore hai una radice doppia cioè: (x^2-2x+1) = (x-1)^2
Non ho capito cosa c'entra scusami.. Potresti spiegarti meglio? Grazie!
Mah! La prima va bene, a parte il fatto che la costante di integrazione solitamente la si scriveva (ai miei tempi) come moltiplicativa davanti all'esponenziale; e in questo modo elimini il doppio segno e la necessità di mantenere $ y=0 $ come soluzione particolare.
Nella seconda non capisco il motivo per cui porti a secondo membro $ y^2 $. Si chiamano a variabili separabili, perché si possono scrivere con ciascuna variabile che compare in uno solo dei due membri. Tu operi al contrario.
Nella terza il risultato del libro mi pare esatto e, come per la prima, include $ y=0 $, che corrisponde a $ c=0 $
Ciao
B.
Nella seconda non capisco il motivo per cui porti a secondo membro $ y^2 $. Si chiamano a variabili separabili, perché si possono scrivere con ciascuna variabile che compare in uno solo dei due membri. Tu operi al contrario.
Nella terza il risultato del libro mi pare esatto e, come per la prima, include $ y=0 $, che corrisponde a $ c=0 $
Ciao
B.
Nella seconda la $y^2$ lo messa al secondo membro solo per far valere quanto ho detto io e solo per isolare la derivata. Dopo la sposto al primo membro certo insieme al $dy$. Quindi nel terzo esercizio anzichè scrivere la soluzione con il $vv y=0$ fà che metterci la $c$? Grazie!
"davicos":
con il ∨y=0 fà che metterci la c? Grazie!
No. La costante non compare con lo scopo di includere anche la soluzione $ y=0 $. Le costanti di integrazione compaiono necessariamente. In questo caso (come nel primo scritto meglio) esiste un valore di c che coincide con la soluzione $ y=0 $. Come se nelle soluzioni di un'equazione goniometrica a $ x=k\pi/3 $ tu volessi ancora aggiungere $ vv x=0 $.
Prego. Ciao
B.
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