Equazioni di secondo grado con discussione

[carmen.mennella.9]

RISOLVI E DISCUTI LE SEGUENTI EQUAZIONI:
1) ax(x alla seconda) -2(a-2)x+a+1=0
2) x(x alla seconda) -2(a+1)x+a(a alla seconda)=0

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

1. Data l'equazione

[math]a\,x^2 + (4 - 2a)x + (a + 1) = 0[/math]

, per

[math]a = 0[/math]

si
ottiene

[math]4x + 1 = 0[/math]

da cui la soluzione

[math]x = - \frac{1}{4}[/math]

. Per

[math]a \ne 0[/math]

, invece,
calcoliamo il discriminante

[math]\Delta := (4 - 2a)^2 - 4\,a\,(a + 1) = 4(4 - 5a)[/math]

,
il quale essendo negativo per

[math]a > \frac{4}{5}[/math]

per tali valori l'equazione non presenta
soluzione reale, essendo nullo per

[math]a = \frac{4}{5}[/math]

per tale valore l'equazione presenta
un'unica soluzione pari a

[math]x = \frac{-(4 - 2a)}{2\,a} = -\frac{3}{2}[/math]

, mentre essendo positivo per

[math]a < \frac{4}{5}[/math]

, per tali valori l'equazione presenta due soluzioni reali distinte pari a

[math]x = \frac{-(4-2a) \pm \sqrt{\Delta}}{2\,a} = \frac{a - 2 \pm \sqrt{4 - 5a}}{a}\\[/math]

.


2. Data l'equazione

[math]x^2 + (- 2a - 2)x + a^2 = 0[/math]

, calcolato il discriminante...
si procede in maniera analoga a sopra. A te proseguire. ;)

[carmen.mennella.9]

come hai ottenuto 4x+1=0?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Come ho scritto, la discussione si comincia con l'analisi del caso in cui si
annulla il coefficiente del termine di secondo grado, ossia quando

[math]a = 0[/math]

.
Quindi, sostituendo nell'equazione parametrica

[math]\small a = 0[/math]

si ottiene

[math]\small 4x + 1 = 0[/math]

,
da cui

[math]\small x = - \frac{1}{4}[/math]

. A questo punto, analizzato questo caso, si pone

[math]a \ne 0[/math]

e si
procede oltre con l'analisi degli altri casi, come sopra mostrato. :)

[carmen.mennella.9]

Mi sono bloccata

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Nella seconda equazione che proponi, come è facilmente constatabile,
il coefficiente del termine di secondo grado è sempre non nullo, quindi
non c'è alcun motivo di porre

[math]a = 0[/math]

o altro. In altri termini, tutto di
guadagno, abbiamo da studiare un caso in meno rispetto alla prima
equazione. A questo punto, come sopra, si passa al calcolo del discrimi-
nante:

[math]\Delta := (- 2a - 2)^2 - 4a^2 = 4(1 + 2a)[/math]

. Quindi, al solito,
occorre distinguere i tre casi, ossia quando il discriminante è negativo,
nullo e positivo. In questo caso, non è difficile notare che il discriminante
è negativo quando

[math]a < - \frac{1}{2}[/math]

e in tal caso sappiamo che non esistono
soluzioni reali, poi il discriminante è nullo per

[math]a = -\frac{1}{2}[/math]

e in tal caso la
soluzione è pari a

[math]x = \frac{-(-2a-2)}{2} = \frac{1}{2}[/math]

, mentre il discriminante è positivo
per

[math]a > - \frac{1}{2}[/math]

e in quest'ultimo caso l'equazione in esame presenta due
soluzioni reali distinte pari a

[math]x = \frac{-(2a - 2) \pm \sqrt{\Delta}}{2} = a + 1 \pm \sqrt{1 + 2a}\\[/math]

.

Fine. :)

[carmen.mennella.9]

Ok grazie mille però è difficile più che altro :/ :)