Equazioni di secondo grado

[fabio rapeti]

Ragazzi riuscite a darmi il procedimento di questi due quesiti per favore?

[Studente Anonimo]

1. Data l'equazione

[math]a\,x^2 + b\,x + c = 0[/math]

, con

[math]a \ne 0[/math]

, le proprie
radici

[math]x_1,\,x_2[/math]

sono tali per cui

[math]x_1 + x_2 = - \frac{b}{a}[/math]

e

[math]x_1\cdot x_2 = \frac{c}{a}\\[/math]

.

Nello specifico abbiamo

[math]x^2 - (2\,k + 1)\,x + (k + 1) = 0[/math]

e vo-
gliamo determinare per quali

[math]k[/math]

si ha

[math]x_1 = 2\,x_2[/math]

. A tale scopo è
sufficiente imporre

[math]\begin{cases}x_1 + x_2 = 2k+1 \\ x_1\cdot x_2 = k + 1\end{cases}[/math]

e una volta risolto nelle
incognite

[math]x_1,\,x_2[/math]

imporre

[math]x_1 = 2\,x_2[/math]

, equazione nell'incognita

[math]k\\[/math]

.


2. In riferimento alla seguente figura:



sapendo che

[math]\overline{AD} = \overline{CH} = 4\,a[/math]

e che

[math]\overline{BC} = 5\,a[/math]

allora per il
teorema di Pitagora

[math]\overline{HB} = 3\,a[/math]

. Ora, posto

[math]\overline{AH} = \overline{CD} = x[/math]

,
nuovamente per il teorema di Pitagora, si ha

[math]\overline{AC} = \sqrt{x^2 + 16\,a^2}[/math]

.
Infine, ponendo

[math]\overline{BK} = y[/math]

segue

[math]\overline{KC} = 5a - y[/math]

e sapendo che

[math]\overline{AB} + \overline{AK} = 18\,a[/math]

segue che

[math]\overline{AK} = 15\,a - x\\[/math]

. Siamo arrivati!!

Infatti, applicando rispettivamente il teorema di Pitagora ai triangoli
rettangoli

[math]\small AKB[/math]

e

[math]\small AKC\\[/math]

si ottiene il seguente sistema di equazioni:

[math]\begin{cases} (x + 3\,a)^2 = (15\,a - x)^2 + y^2 \\ \left(x^2 + 16\,a^2\right) = (15\,a - x)^2 + (5\,a - y)^2 \end{cases}\\[/math]

che risolto nelle incognite

[math]x,\,y[/math]

permette il calcolo dell'area di tale
trapezio rettangolo. ;)

[fabio rapeti]

Giustoooooo... grazie mille