Equazioni di grado superiore al secondo
Sto risolvendo la seguente equazioni, "sono esercizi di ricapitolazione"....
$ 6x^4-7x^3-7x^2+6x=0 $
Il primo metodo per cominciare a risolverla è con Ruffini, ecc.. Dite che potrei iniziare con altri metodi?
Insomma ho provato a cominciare a risolverla così:
$ x^3(6x-7)-x(7x+6)=0 $
Ma così facendo mi perdo
Io penso l'unica possibile via per iniziare a risolverla è con Ruffini...
$ 6x^4-7x^3-7x^2+6x=0 $
Il primo metodo per cominciare a risolverla è con Ruffini, ecc.. Dite che potrei iniziare con altri metodi?
Insomma ho provato a cominciare a risolverla così:
$ x^3(6x-7)-x(7x+6)=0 $
Ma così facendo mi perdo
Io penso l'unica possibile via per iniziare a risolverla è con Ruffini...
Risposte
Comincia a raccogliere $x$:
$6x^4-7x^3-7x^2+6x=x(6x^3-7x^2-7x+6)$.
Poi, ragionando solo sul fattore $6x^3-7x^2-7x+6$, si può raccogliere a gruppi.
Il primo passo è
$6x^3-7x^2-7x+6=6(x^3+1)-7x(x+1)$.
Il secondo è notare che il termine $x^3+1$ è la somma di due cubi e quindi si scompone così:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
Dunque
$6(x^3+1)-7x(x+1)=6(x+1)(x^2-x+1)-7x(x+1)=(x+1)[6(x^2-x+1)-7x]=$
$(x+1)(6x^2-13x+6)$.
Perciò l'equazione è
$x(x+1)(6x^2-13x+6)=0$.
Quindi:
1) $x=0->x_1=0$,
2) $x+1=0->x_2=-1$,
3) $6x^2-13x+6=0->x_3=2/3, x_4=3/2$.
$6x^4-7x^3-7x^2+6x=x(6x^3-7x^2-7x+6)$.
Poi, ragionando solo sul fattore $6x^3-7x^2-7x+6$, si può raccogliere a gruppi.
Il primo passo è
$6x^3-7x^2-7x+6=6(x^3+1)-7x(x+1)$.
Il secondo è notare che il termine $x^3+1$ è la somma di due cubi e quindi si scompone così:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
Dunque
$6(x^3+1)-7x(x+1)=6(x+1)(x^2-x+1)-7x(x+1)=(x+1)[6(x^2-x+1)-7x]=$
$(x+1)(6x^2-13x+6)$.
Perciò l'equazione è
$x(x+1)(6x^2-13x+6)=0$.
Quindi:
1) $x=0->x_1=0$,
2) $x+1=0->x_2=-1$,
3) $6x^2-13x+6=0->x_3=2/3, x_4=3/2$.
"chiaraotta":
Comincia a raccogliere $x$:
$6x^4-7x^3-7x^2+6x=x(6x^3-7x^2-7x+6)$.
Poi, ragionando solo sul fattore $6x^3-7x^2-7x+6$, si può raccogliere a gruppi.
Il primo passo è
$6x^3-7x^2-7x+6=6(x^3+1)-7x(x+1)$.
Il secondo è notare che il termine $x^3+1$ è la somma di due cubi e quindi si scompone così:
$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
Dunque
$6(x^3+1)-7x(x+1)=6(x+1)(x^2-x+1)-7x(x+1)=(x+1)[6(x^2-x+1)-7x]=$
$(x+1)(6x^2-13x+6)$.
Perciò l'equazione è
$x(x+1)(6x^2-13x+6)=0$.
Quindi:
1) $x=0->x_1=0$,
2) $x+1=0->x_2=-1$,
3) $6x^2-13x+6=0->x_3=2/3, x_4=3/2$.
Quanto ti invidio.......
Sai tutte le vie risolutive
T ringrazio
Adesso provo a fare lo stesso ragionamento con questa:
$ x^4-2x^3-8x+16=0 $
Adesso provo......
$ x^4-2x^3-8x+16=0 $
Adesso provo......
Attento con questa, potresti avere dei problemi seguendo la stessa via risolutiva in quanto c'è un termine noto a differenza della precedente.
"JoJo_90":
Attento con questa, potresti avere dei problemi seguendo la stessa via risolutiva in quanto c'è un termine noto a differenza della precedente.
Infatti, ho fatto varie prove e non sempre funziona! Sono riuscito solo utilizzando Ruffini...
Adesso vedo questa:
$ x^3-x^2+x+1=0 $
Sai che in questa non sto riuscendo ad utilizzare Ruffini?
Il testo mi da un unico risultato, cioè $ 1 $
Per risolverla ho pensato di fare così!
$ x^2(x-1)+1(x+1)=0 $
Segue
$ x^2+1=0 =>x^2=-1$ impossibile
$ x+1=0 =>x=-1$ impossibile
$ x-1=0 =>x=1$ accettabile
Cosa ne dite?
$ x^3-x^2+x+1=0 $
Sai che in questa non sto riuscendo ad utilizzare Ruffini?
Il testo mi da un unico risultato, cioè $ 1 $
Per risolverla ho pensato di fare così!
$ x^2(x-1)+1(x+1)=0 $
Segue
$ x^2+1=0 =>x^2=-1$ impossibile
$ x+1=0 =>x=-1$ impossibile
$ x-1=0 =>x=1$ accettabile
Cosa ne dite?
Ruffini in effetti è fondamentale per questo tipo di equazioni (anche se esistono algoritmi per la risoluzione di equazioni di terzo e quarto grado; a tal proposito puoi vedere wikipedia qui e qui ma sono un pò macchinosi).
Nel tuo caso ad esempio potevi procedere in un altro modo, ovvero operando un raccoglimento parziale:
$ x^4-2x^3-8x+16=0 $
$x^3(x-2) - 8(x-2) = 0$
$(x^3 - 8)(x-2) = 0$
per la legge di annullamento del prodotto si ha:
$x^3 - 8 = 0 => x_1 = 2$
$x-2= 0 => x_2 = 2$
Soluzione: $x = 2$
In generale quello che ti conviene fare quando hai equazioni di questo tipo è vedere se è possibile scomporre. Se si può procedi con la risoluzione, se non si può provi con Ruffini (questo metodo puoi considerarlo come "ultima spiaggia").
Nel tuo caso ad esempio potevi procedere in un altro modo, ovvero operando un raccoglimento parziale:
$ x^4-2x^3-8x+16=0 $
$x^3(x-2) - 8(x-2) = 0$
$(x^3 - 8)(x-2) = 0$
per la legge di annullamento del prodotto si ha:
$x^3 - 8 = 0 => x_1 = 2$
$x-2= 0 => x_2 = 2$
Soluzione: $x = 2$
In generale quello che ti conviene fare quando hai equazioni di questo tipo è vedere se è possibile scomporre. Se si può procedi con la risoluzione, se non si può provi con Ruffini (questo metodo puoi considerarlo come "ultima spiaggia").
Ok, adesso continuo a provare! Grazie mille!
Ecco, adesso provo con questa, non ha nessun termine noto...
$ 3x^5-x^4-x^3+3x^2=0 $
Un attimo che ti faccio sapere cosa combino ...
Allora, amico mio JoJo, ecco cosa ho combinato ma non sono sicuro di aver fatto bene....
$ 3x^2(x^3+1)-x^3(x+1)=0 $
Segue
$ 3x^2-x^3=0 =>x^2(3-x)=0$ quindi $ x_1=0 $ mentre quì ho dei dubbi $ x_2=>-x=-3=>x=3 $ mentre $ x^2=0=>x=0 $
$ x^3=-1=>x=-1 $ accettabile
$ x=-1 $ accettabile
In effetti il testo mi da i seguenti risultati $ -1;0 $
Ripeto che non sono sicuro di aver fatto bene, ma sto solo cercando di imparare metodi alternativi a quelli che già so fare e che conosco!
$ 3x^5-x^4-x^3+3x^2=0 $
Un attimo che ti faccio sapere cosa combino
... Allora, amico mio JoJo, ecco cosa ho combinato ma non sono sicuro di aver fatto bene....
$ 3x^2(x^3+1)-x^3(x+1)=0 $
Segue
$ 3x^2-x^3=0 =>x^2(3-x)=0$ quindi $ x_1=0 $ mentre quì ho dei dubbi $ x_2=>-x=-3=>x=3 $
mentre $ x^2=0=>x=0 $ $ x^3=-1=>x=-1 $ accettabile
$ x=-1 $ accettabile
In effetti il testo mi da i seguenti risultati $ -1;0 $
Ripeto che non sono sicuro di aver fatto bene, ma sto solo cercando di imparare metodi alternativi a quelli che già so fare e che conosco!
Attenzione al procedimento. Riguarda quanto fatto da chiaraotta e vedrai che non si arriva così rapidamente alla soluzione.
Tra l'altro porre $3x^2 - x^3 = 0$ non è corretto e non ho nemmeno capito tanto bene il significato del passaggio in sè. A che ti serve farlo?
Tra l'altro porre $3x^2 - x^3 = 0$ non è corretto e non ho nemmeno capito tanto bene il significato del passaggio in sè. A che ti serve farlo?
"JoJo_90":
Attenzione al procedimento. Riguarda quanto fatto da chiaraotta e vedrai che non si arriva così rapidamente alla soluzione.
Tra l'altro porre $3x^2 - x^3 = 0$ non è corretto e non ho nemmeno capito tanto bene il significato del passaggio in sè. A che ti serve farlo?
Sto solo facendo delle prove, tutto quì!
Sono riuscito a risolverla solo in questo modo:
Utilizzo Ruffini....
Per $ x=-1 $ Arrivo alla seguente
$ 3x^4-4x^3+3x^2=0 $
$ x^2(3x^2-4x+3)=0 $
Segue
$ x=0 $
Mentre $ 3x^2-4x+3=0 $ è impossibile perchè $ Delta<0 $
Utilizzo Ruffini....
Per $ x=-1 $ Arrivo alla seguente
$ 3x^4-4x^3+3x^2=0 $
$ x^2(3x^2-4x+3)=0 $
Segue
$ x=0 $
Mentre $ 3x^2-4x+3=0 $ è impossibile perchè $ Delta<0 $
"Bad90":
Ecco, adesso provo con questa, non ha nessun termine noto...
$ 3x^5-x^4-x^3+3x^2=0 $
...
Se vuoi risolvere l'equazione
$3x^5-x^4-x^3+3x^2=0$, comincia a raccogliere $x^2$.
Allora $3x^5-x^4-x^3+3x^2=x^2(3x^3-x^2-x+3)$.
Poi opera sul fattore $3x^3-x^2-x+3$.
Anche in questo caso raccogli a gruppi, ricordando che $x^3+1$ è la somma di due cubi e quindi si scompone come $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$:
$3x^3-x^2-x+3=3(x^3+1)-x(x+1)=3(x+1)(x^2-x+1)-x(x+1)=$
$(x+1)[3(x^2-x+1)-x]=(x+1)(3x^2-4x+3)$.
Dunque l'equazione è
$x^2(3x^3-x^2-x+3)=0->x^2(x+1)(3x^2-4x+3)=0$.
Quindi
1) $x^2=0->x_(1, 2)=0$,
2) $x+1=0->x_3=-1$,
3) $3x^2-4x+3=0->text(impossibile, perché )Delta<0$.
Ma conviene sempre raccogliere a fattor comune iniziando dalla $ x $ con grado più basso? In questo caso è $ x^2 $
Chiarotta, resta sempre il fatto che ti INVIDIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Chiarotta, resta sempre il fatto che ti INVIDIOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
Il raccoglimento a fattor comune, quando è possibile, è la cosa più ovvia da fare tanto per iniziare la scomposizione. Poi si provano altre tecniche più complicate nei fattori che si sono ottenuti .....
"chiaraotta":
Il raccoglimento a fattor comune, quando è possibile, è la cosa più ovvia da fare tanto per iniziare la scomposizione. Poi si provano altre tecniche più complicate nei fattori che si sono ottenuti .....
Ok, perfetto... Ma per uno come me che è all'inizio con queste tecniche, come dovrei fare ad iniziare orientandomi...
Mi spiego, conviene iniziare sempre a raccogliere a fattor comune la $ x $ con grado più basso? Oppure ad occhio trovare le varie combinazioni?
"Bad90":
Sto solo facendo delle prove, tutto quì!
Ah ok, però anche nel fare delle prove cerca di effettuare dei passaggi logici e corretti. Ogni passaggio deve avere un suo senso ed essere giustificabile. Da qui:
$ 3x^2(x^3+1)-x^3(x+1)=0 $
non segue
$ 3x^2-x^3=0 $
in quanto non vedo giustificazioni per questo passaggio.
Volevo scriverti altre cose ma vedo che chiaraotta ha già risposto.
P.S. Per quest'altra equazione $ x^3 - x^2 + x +1 = 0 $ non sò aiutarti in quanto non facendo esercizi del genere da tanto tempo sono un pò fuori allenamento con scomposizioni e cose del genere. Comunque dici che il testo ti dà come soluzione $x=1$, ma allora c'è qualcosa che non và, infatti:
$1^3 - 1^2 + 1 + 1 = 0 => 1 -1 +1 +1 = 0 => 2=0 =>$ impossibile!.
Forse c'è un errore nel testo o nel risultato o forse sono io che sono una capra
.Ciao.
Il testo mi da il valore di $ x=1 $ , non so che dirti!
"Bad90":
Il testo mi da il valore di $ x=1 $ , non so che dirti!
Eh, nemmeno io, purtroppo; mi dispiace non poterti aiutare in questo caso.
"Bad90":
Ok, perfetto... Ma per uno come me che è all'inizio con queste tecniche, come dovrei fare ad iniziare orientandomi...
Mi spiego, conviene iniziare sempre a raccogliere a fattor comune la x con grado più basso? Oppure ad occhio trovare le varie combinazioni?
Quello che ti posso consigliare io è questo: per prima cosa è utile conoscere molto bene i prodotti notevoli e di conseguenza le regole di scomposizione (per binomi, trinomi, quadrinomi) e questo è ovvio. Dopo di che l'esercizio e l'esperienza che viene dagli esercizi (e anche da matematicamente.it forum,
) ti consentirà di riconoscere i passaggi opportuni da effettuare. Ciò non significa che bisogna necessariamente intraprendere al primo tentativo la strada giusta. Prima hai detto che fai delle prove e secondo me fai bene perchè è sempre possibile trovare alternative anche quando uno non se le aspetta.Poi ricorda che per questi esercizi spesso non c'è un modo standard di risolverli (è un pò come i limiti che avrai modo di studiare), quindi la cosa migliore è fare molti esercizi: più se ne fanno meglio è.
Come consiglio pratico prendi quello di chiaraotta e questo mio se vuoi e cioè: per prima cosa vedi se puoi scomporre fin da subito l'equazione (se hai un binomio prova tutte le regole dei binomi, lo stesso se hai un trinomio e così via). Se non hai modo di scomporre provi con Ruffini. Se non vuoi provare con Ruffini e lasciarlo come ultima spiaggia (di solito si preferisce far così perchè è un pò scocciante) inizia a raccogliere qualcosa e quì fai delle prove e vedi cosa ottieni; se ad esempio ottieni dei fattori che puoi scomporre scomponili e vai avanti; se il raccoglimento non ti porta a niente prova raccogliere un altro fattore e così via. Se poi vedi che nello svolgimento di un esercizio i passaggi si stanno dilungando troppo e hai la sensazione che non ti porteranno a niente ti conviene interrompere e passare a Ruffini.
Ad esempio, se avessi raccolto la $x$ nell'equazione di prima $x^4 - 2x^3 - 8x +16 = 0$ avresti ottenuto:
$x(x^3 - 2x^2 -8 + 16/x) = 0$
Vedi che la presenza di quel $16/x$ ti disturba un pò perchè non ti consente di scomporre nulla. Quindi in questo caso il raccoglimento fatto non ti fa concludere molto. Quindi provi con un'altra strada.
Concludo dicendoti di continuare a frequentare questo forum, perchè ti permette di crescere tanto e poi perchè trovi sempre persone cortesi e preparate che sapranno aiutarti (da questa descrizione vorrei escludermi, ma non per falsa modestia, ma perchè non c'è paragone con gli altri utenti dai quali soprattutto io ho molto da imparare).
Detto questo ti saluto, nella speranza che quanto ho scritto possa esserti stato d'aiuto.
Ciao.
Amico mio JoJo, apprezzo tantissimo quello che mi hai detto e ne faccio tesoro , come sto facendo di tutti i consigli che queste care e cortesi persone del forum, mi stanno dando. Si, ho effettivamente avuto modo di constatare che è veramente un piacere studiare la materia e comunicare con tutti voi, fa crescere tantissimo! 
Vi ringrazio vivamente!
, come sto facendo di tutti i consigli che queste care e cortesi persone del forum, mi stanno dando. Si, ho effettivamente avuto modo di constatare che è veramente un piacere studiare la materia e comunicare con tutti voi, fa crescere tantissimo! Vi ringrazio vivamente!
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