Equazioni di circonferenze

[--max--1]

x^2+y^2-4x+6y-1=0
x^2+y^2-4x+6y-3=0
"Verificare che le circonferenze delle due equazioni sono concentriche e determinare i loro raggi."

[Spazio Sghembo]

citazione:

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x^2+y^2-4x+6y-1=0
x^2+y^2-4x+6y-3=0
"Verificare che le circonferenze delle due equazioni sono concentriche e determinare i loro raggi."

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Il metodo migliore è quello diel completamento dei quadrati per riportare le circonferenze in forma canonica:
(x-a)²+(y-b)²=c²

Con (a,b) centro della circonferenza e c raggio.

Diventano Sommando ad ambo le parti 4 e 9 notiamo i prodotti notevoli e ci riconduciamo facilmente a:

(x-2)²+(y+3)²=14
(x-2)²+(y+3)²=16

Abbiamo quindi i due centri coincidenti in (2,-3) dimostrandone la concentricità e di raggio 14 la prima e 16 la seconda.

Ti risulta tutto chiaro?

[--max--1]

Grazie mille, se ho altri problemi riguardo alle circonferenze riposto.

[--max--1]

Altro problema:
"calcolare vertici del triangolo e l'equazione della circonferenza circoscritta"

3x+2y=0
3x-2y=0
x=3

[fireball1]

Primo vertice:

{3x+2y=0
{x=3

9+2y=0 ==> y=-9/2

A(3,-9/2)

Secondo vertice:

{3x-2y=0
{x=3

9-2y=0 ==> y=9/2

B(3,9/2)

Abbiamo quindi due vertici simmetrici rispetto all'asse x.

Terzo vertice:

{3x+2y=0
{3x-2y=0

{3x=-2y
{-4y=0

{y=0
{x=0

Il terzo vertice è l'origine, O(0,0)

La circonferenza circoscritta ha come centro il circocentro del triangolo,
cioè il punto di intersezione degli assi. Basta trovare due assi e poi metterli
a sistema. Un asse è l'asse x, perché passa per il punto medio di AB, che è M(3,0),
quindi y=0. Il punto medio di OB è: N(3/2,9/4) e l'equazione di OB è: 3x-2y=0.
Il coeff. angolare di questa equazione è: 3/2. Quello dell'asse sarà -2/3.
Quindi l'equazione dell'asse di OB è: y-9/4=-2/3(x-3/2) ===> y=(39-8x)/12

Con il sistema:

{y=(39-8x)/12
{y=0

si trova il circocentro, di coordinate (39/8,0)

Il raggio della circonferenza circoscritta è 39/8, quindi la sua equazione è:

(x-39/8)²+y²=1521/64

[--max--1]

Rapidi ed efficienti, grazie.
Mi fareste una cortesia se mi fate una rappresentazione grafica del problema, sempre se non vi creo qualche disturbo.

[fireball1]

La retta in rosso è 3x + 2y = 0, quella in blu è 3x - 2y = 0, l'altra è x = 3.

[tony19]

buona, fireball!
hai pubblicato un disegno che non va inutilmente oltre il margine destro.

spiega a tutti la tecnica usata per tagliarlo.
e, magari, studia per rimpicciolirlo un po' (se fosse opportuno in altri casi).

tony

[--max--1]

Trovare la misura della corda comune alle due circonferenze.

x^2 + y^2 -6x +3y -2=0
x^2 + y^2 -4x +5y -8=0

[fireball1]

Basta risolvere il sistema formato dalle due equazioni.
Per risolvere il sistema, ti suggerisco di procedere così:
sottrai membro a membro le due equazioni: otterrai l'equazione
di una retta che si chiama asse radicale. Fatto questo,
poni a sistema la retta trovata prima con una circonferenza
e poi con l'altra. Le soluzioni dei due sistemi corrispondono
a due punti del piano cartesiano. A questo punto non resta
che calcolare la loro distanza con la formula della distanza tra due punti.

[fireball1]

Per Tony: non ho fatto altro che disegnare i grafici dei luoghi
con Derive, inserendo le lettere con l'apposita funzione del programma.
Poi, anziché esportare il grafico in un file .jpg, ho premuto STAMP
e incollato su Paint, ho ritagliato la parte del grafico che serviva
e poi l'ho salvata in gif. Poi l'ho inserita nel forum, copiandola
prima ovviamente sul mio spazio web. Nell'inserirla nel forum ho usato
il comando

per centrare l'immagine.

Cita

Segnala

[--max--1]

Ok, sei stato chiarissimo, potresti farmi un piacere?
Potresti farmi almeno il primo sistema tra la retta dell'asse radicale e il primo punto di circonferenza?
Il risultato di quel sistema non mi viene.
Poi il resto è tutto ok.

Modificato da - --max-- il 25/04/2004 23:08:37

[--max--1]

Ops, scusate, ho postato due volte..

Modificato da - --max-- il 25/04/2004 23:08:05

[tony19]

ringrazio, fireball

*quote:

---

Per Tony: non ho fatto altro che disegnare i grafici dei luoghi
con Derive, inserendo le lettere con l'apposita funzione del programma.
Poi, anziché esportare il grafico in un file .jpg, ...

---

non sono io il fruitore, per ora, di questa informazione, bensì i molti che hanno sventolato (come ho già segnalato in precedenza) lenzuola di diagrammi [che potevano esser ridotti a pochi centimetri quadrati, (es. abbiasi un cerchio di raggio 1 con centro nell'origine, trovarne una tangente verticale: 4 oppure 16 videate per una cosa del genere, quando ne bastava mezza) ].

le lettere forse non c'entrano con l'argomento, ma può esser sempre piacevole divagare ...

se la sostanza non l'hanno capita, insisti a spiegarla, ti prego!

tony

*Edited by - tony on 26/04/2004 01:31:52

[fireball1]

Beh, se non l'hanno capita, me lo diranno loro!

[--max--1]

Non vorrei disturbare, ma sarebbe urgente.
Saluti.

[MaMo2]

Sottrendo l'equazione della prima circonferenza dalla seconda si ottiene l'equazione dell'asse radicale:
y = 3 - x
Mettendo a sistema l'asse radicale con la prima circonferenza si ottiene:
x² + (3 - x)² - 6x + 3(3 - x) - 2 = 0
2x² - 15x + 16 = 0
Le due soluzioni sono:
x = (15 97)/4
Le coordinate dei due punti di intersezione sono:
A [(15 + 97)/4 ; (- 3 - 97)/4]
B [(15 - 97)/4 ; (- 3 + 97)/4]
La lunghezza della corda è dunque:
AB = (97/2).

[fireball1]

Dunque, l'asse radicale è, come avrai trovato: -2x - 2y + 6 = 0
Quindi devi risolvere questo sistema (volendo puoi farlo anche
con l'altra circonferenza):
{-2x - 2y + 6 = 0
{x² + y² - 6x + 3y - 2 = 0
Dalla prima: -2y = 2x - 6 ... 2y = 6 - 2x ... y = 3 - x
Sostituendo nella seconda:
x² + x² - 6x + 9 - 6x + 3*(3 - x) - 2 = 0
2x² - 12x + 9 + 9 - 3x - 2 = 0
2x² - 15x + 16 = 0
Risolvendo si trova: x = 15/4 (97)/4
Di conseguenza: y = ((97) - 3)/4
I punti sono allora: A[15/4 + 97/4 ; ((97) - 3)/4]
e B[15/4 - 97/4 ; (-(97) - 3)/4]
Calcola la loro distanza ed il gioco e fatto.
Spero di non aver fatto errori di calcolo.

[--max--1]

La distanza mi viene - radice di (97/2), non radice di (97/2) come mai?
A voi quanto viene?

Modificato da - --max-- il 28/04/2004 19:35:11

[fireball1]

La distanza tra due punti non è un qualcosa di positivo o negativo:
va sempre considerata in modulo (cioè in valore assoluto).

Modificato da - fireball il 28/04/2004 19:39:15

[--max--1]

Io ho fatto così:
la distanza è

d= ( 15-97/4 15 + 97/4 ) + (-3-97/4 -3+97/4)

E rimane -97/2

Ho fatto errori?

Ps: solo ora vedo il tuo post sul valore assoluto

Modificato da - --max-- il 28/04/2004 20:18:14