Equazioni con radicali
Salve a tutti, mi aiutereste a completare/verificare questa equazione per favore:
$ \frac{1}{\sqrt{5}+x}+\frac{1}{x^2-5}=\frac{3+3\sqrt{5}}{x^2+5+2\sqrt{5x}} $
$ \frac{1}{\sqrt{5}+x}+\frac{1}{(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})}= \frac{3+3\sqrt{5}}{(x+\sqrt{5})^2} $
calcolo m.c.m.
$ (x+\sqrt{5})^2(x-\sqrt{5}) $
e da qui faccio sicuramente qualche errore. Vorrei sapere come completare l'equazione.
Inoltre se possibile, vorrei anche sapere,perchè ho qualche dubbio, qual'è il m.c.m. tra :
5
$ 5x+\sqrt{5} $
$ 5\sqrt{5x}+5 $
Vi ringrazio per la vostra gentile diponibilità
$ \frac{1}{\sqrt{5}+x}+\frac{1}{x^2-5}=\frac{3+3\sqrt{5}}{x^2+5+2\sqrt{5x}} $
$ \frac{1}{\sqrt{5}+x}+\frac{1}{(x+\sqrt{5})(x-\sqrt{5})}= \frac{3+3\sqrt{5}}{(x+\sqrt{5})^2} $
calcolo m.c.m.
$ (x+\sqrt{5})^2(x-\sqrt{5}) $
e da qui faccio sicuramente qualche errore. Vorrei sapere come completare l'equazione.
Inoltre se possibile, vorrei anche sapere,perchè ho qualche dubbio, qual'è il m.c.m. tra :
5
$ 5x+\sqrt{5} $
$ 5\sqrt{5x}+5 $
Vi ringrazio per la vostra gentile diponibilità
Risposte
Perfetto adesso 
ciao soppalco!!
il mcm è giusto
$(x+sqrt(5))^2(x-sqrt(5))$
nella prima riga del testo porta solo fuori quella $x$ dalla radice ti sei confuso...
se vai avanti viene
$(x+sqrt(5))(x-sqrt(5))+(x+sqrt(5))=3(1+sqrt(5))(x-sqrt(5))$
$x^2-5+x+sqrt(5)=3x-3sqrt(5)+3xsqrt(5)-15$
$x^2-(2+3sqrt(5))x+10+4sqrt(5)=0$
SOLUZIONI
$x_(1,2)=1/2(2+3sqrt(5)+-sqrt(9-4sqrt(5)))$
attenzione alla formula dei radicali doppi devi conoscerla
$sqrt(9-4sqrt(5))=sqrt(5)-2$
e quindi
$x_1=2sqrt(5)$
$x_2=2+sqrt(5)$
and we have done...
sempre che non abbia fatto errori di calcolo, ricontrolla bene...
ciao!
il mcm è giusto
$(x+sqrt(5))^2(x-sqrt(5))$
nella prima riga del testo porta solo fuori quella $x$ dalla radice ti sei confuso...
se vai avanti viene
$(x+sqrt(5))(x-sqrt(5))+(x+sqrt(5))=3(1+sqrt(5))(x-sqrt(5))$
$x^2-5+x+sqrt(5)=3x-3sqrt(5)+3xsqrt(5)-15$
$x^2-(2+3sqrt(5))x+10+4sqrt(5)=0$
SOLUZIONI
$x_(1,2)=1/2(2+3sqrt(5)+-sqrt(9-4sqrt(5)))$
attenzione alla formula dei radicali doppi devi conoscerla
$sqrt(9-4sqrt(5))=sqrt(5)-2$
e quindi
$x_1=2sqrt(5)$
$x_2=2+sqrt(5)$
and we have done...
sempre che non abbia fatto errori di calcolo, ricontrolla bene...
ciao!
Spiega che errore credi di fare.
Io facendo i calcoli arrivo ad avere:
\(\displaystyle x^2 -(2+3\sqrt5)x +4\sqrt5 +10 = 0 \)
\(\displaystyle Naturalmente \ con \ x \neq \sqrt5 \ e \ x \neq -\sqrt5 \)
Io ho risolto e ho trovato queste 2 soluzioni
\(\displaystyle x= 2\sqrt5\)
\(\displaystyle x= 2 + \sqrt5 \)
Durante la risoluzione avrai bisogno della formula per il calcolo dei radicali quadratici doppi
Mcm tra
\(\displaystyle 5 \)
\(\displaystyle 5x + \sqrt5 \)
\(\displaystyle 5\sqrt5x +5 = 5(\sqrt5x+1) \)
è \(\displaystyle 5(5x+\sqrt5)(\sqrt5x+1) \)
Io facendo i calcoli arrivo ad avere:
\(\displaystyle x^2 -(2+3\sqrt5)x +4\sqrt5 +10 = 0 \)
\(\displaystyle Naturalmente \ con \ x \neq \sqrt5 \ e \ x \neq -\sqrt5 \)
Io ho risolto e ho trovato queste 2 soluzioni
\(\displaystyle x= 2\sqrt5\)
\(\displaystyle x= 2 + \sqrt5 \)
Durante la risoluzione avrai bisogno della formula per il calcolo dei radicali quadratici doppi
Mcm tra
\(\displaystyle 5 \)
\(\displaystyle 5x + \sqrt5 \)
\(\displaystyle 5\sqrt5x +5 = 5(\sqrt5x+1) \)
è \(\displaystyle 5(5x+\sqrt5)(\sqrt5x+1) \)
ciao jack e grazie per la risposta.
seguendo i tuoi consigli sono arrivato sin qui:
\( \displaystyle x^2 -(2+3\sqrt5)x +4\sqrt5 +10 = 0 \)
avevo fatto un errore di calcolo!!
ora però sono bloccato ancora
gentilmente mi spiegheresti come fai a trovare le soluzioni.
io non riesco a calcolare il delta...sempre se va calcolato
a me verrebbe una cosa cosi
delta = $ -(2+3sqrt5)^2 -4 (10+4sqrt5) $
grazie ancora jack
seguendo i tuoi consigli sono arrivato sin qui:
\( \displaystyle x^2 -(2+3\sqrt5)x +4\sqrt5 +10 = 0 \)
avevo fatto un errore di calcolo!!
ora però sono bloccato ancora
gentilmente mi spiegheresti come fai a trovare le soluzioni.
io non riesco a calcolare il delta...sempre se va calcolato
a me verrebbe una cosa cosi
delta = $ -(2+3sqrt5)^2 -4 (10+4sqrt5) $
grazie ancora jack
Ti avrei risposto anche io prima di Jack...
Prova magari a leggere tutto... vedi che ti ho scritto anche tutti i passaggi
Prova magari a leggere tutto... vedi che ti ho scritto anche tutti i passaggi
ciao mazzarri, credevo che anche la prima risposta fosse di jack, scusami
A me il delta viene cosi:
$ −(2+3sqrt5)^2−4(10+4sqrt5) $
$ 4+45-40-16sqrt5 $
$ 9-16sqrt5 $
Dove sbaglio? perchè a te viene $ 9-4sqrt5 $
scusami ancora per la distrazione e grazie per l'aiuto
A me il delta viene cosi:
$ −(2+3sqrt5)^2−4(10+4sqrt5) $
$ 4+45-40-16sqrt5 $
$ 9-16sqrt5 $
Dove sbaglio? perchè a te viene $ 9-4sqrt5 $
scusami ancora per la distrazione e grazie per l'aiuto
il delta è $b^2-4ac$ quindi sbagli mettendo il segno "meno" prima di tutto
e ti dimentichi anche del doppio prodotto nel primo quadrato
sarebbe
$Delta=(2+3sqrt(5))^2-4(10+4sqrt(5))=$
$=4+45+12sqrt(5)-40-16sqrt(5)=$
$=9-4sqrt(5)$
tutto chiaro? da qui sai andare avanti con la formula dei radicali doppi?
ciao!
e ti dimentichi anche del doppio prodotto nel primo quadrato
sarebbe
$Delta=(2+3sqrt(5))^2-4(10+4sqrt(5))=$
$=4+45+12sqrt(5)-40-16sqrt(5)=$
$=9-4sqrt(5)$
tutto chiaro? da qui sai andare avanti con la formula dei radicali doppi?
ciao!
Sì sì tutto chiaro adesso...l'ho portata a termine
grazie mille...
grazie mille...
ragazzi un'ultima gentilezza.Siccome non c'è il risultato mi potete dire se l'ho svolta bene. Grazie
$ \frac{x}{5x+\sqrt{5}}+\frac{1}{5}=\frac{x^2+5}{5\sqrt{5x}+5} $
$ \frac{x(5)(\sqrt{5x}+1)+(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})}{5(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})}=\frac{(x^2+5)(5x+\sqrt{5})}{5(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})} $
$ 5\sqrt{5x^2}+5x+5\sqrt{5x^2}+5x+5x+\sqrt{5}=5x^3+\sqrt{5x^2}+25x+5\sqrt{5} $
$ 5x^3-9\sqrt{5x^2}+10x+4\sqrt{5}=0 $
$ x^2(5x-9sqrt5)+2(5x+2sqrt5)=0 $
$ x=\frac{9\sqrt{5}}{5} $
x=0
$ x=\frac{-2\sqrt{5}}{5} $
$ \frac{x}{5x+\sqrt{5}}+\frac{1}{5}=\frac{x^2+5}{5\sqrt{5x}+5} $
$ \frac{x(5)(\sqrt{5x}+1)+(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})}{5(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})}=\frac{(x^2+5)(5x+\sqrt{5})}{5(\sqrt{5x}+1)(5x+\sqrt{5})} $
$ 5\sqrt{5x^2}+5x+5\sqrt{5x^2}+5x+5x+\sqrt{5}=5x^3+\sqrt{5x^2}+25x+5\sqrt{5} $
$ 5x^3-9\sqrt{5x^2}+10x+4\sqrt{5}=0 $
$ x^2(5x-9sqrt5)+2(5x+2sqrt5)=0 $
$ x=\frac{9\sqrt{5}}{5} $
x=0
$ x=\frac{-2\sqrt{5}}{5} $
Direi proprio di no...
Mi sembra tutto giusto fino alla equazione di terzo grado ma poi non l'hai risolta, hai raccolto ma non serviva a nulla e nel dare le soluzioni hai commesso un errore, direi anche bruttino
Te ne accorgi da solo che le soluzioni sono errate, prova a sostituire $x=0$ nella tua equazione di terzo grado e vedi che il polinomio non si annulla
Bisogna cercare di scomporre il polinomio di terzo grado usando Ruffini, cosa che peraltro non riesco a fare... sei sicuro del testo vero?? quella x che metti sempre sotto radice è solo un tuo errore di scrittura?
EDIT: ce l'ho fatta ma è stata durissima... dubito che il testo sia corretto... mi sembra troppo difficile... il polinomio è divisibile per $sqrt(5)+1$ quindi abbiamo
$5x^3-9x^2sqrt(5)+10x+4sqrt(5)=0$
$(x-sqrt(5)-1)(5x^2+x(5-4sqrt(5))+(sqrt(5)-5))=0$
Quindi una soluzione è $x_1=sqrt(5)+1$ e le altre due le ottieni risolvendo da solo la equazione di secondo grado che ti ho scritto
Detto questo continuo a dubitare del testo originale...
Mi sembra tutto giusto fino alla equazione di terzo grado ma poi non l'hai risolta, hai raccolto ma non serviva a nulla e nel dare le soluzioni hai commesso un errore, direi anche bruttino
Te ne accorgi da solo che le soluzioni sono errate, prova a sostituire $x=0$ nella tua equazione di terzo grado e vedi che il polinomio non si annulla
Bisogna cercare di scomporre il polinomio di terzo grado usando Ruffini, cosa che peraltro non riesco a fare... sei sicuro del testo vero?? quella x che metti sempre sotto radice è solo un tuo errore di scrittura?
EDIT: ce l'ho fatta ma è stata durissima... dubito che il testo sia corretto... mi sembra troppo difficile... il polinomio è divisibile per $sqrt(5)+1$ quindi abbiamo
$5x^3-9x^2sqrt(5)+10x+4sqrt(5)=0$
$(x-sqrt(5)-1)(5x^2+x(5-4sqrt(5))+(sqrt(5)-5))=0$
Quindi una soluzione è $x_1=sqrt(5)+1$ e le altre due le ottieni risolvendo da solo la equazione di secondo grado che ti ho scritto
Detto questo continuo a dubitare del testo originale...
Secondo me quando scrive $sqrt(5x)$ intende invece $sqrt(5)x$. Quindi il procedimento è molto più semplice: \[
\frac{x}{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}x+1\right)} + \frac{1}{5} = \frac{x^2+5}{5\left(\sqrt{5}x+1\right)}
\] Faccio il minimo \[
\frac{\sqrt{5}x + \sqrt{5}x + 1 = x^2+5}{5\left(\sqrt{5}x+1\right)}
\] \[
x^2-2\sqrt{5}x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{5}-1 \vee x = \sqrt{5}+1
\] da controllare con le condizioni da imporre sul denominatore, che non ho fatto e lascio a "soppalco".
\frac{x}{\sqrt{5}\left(\sqrt{5}x+1\right)} + \frac{1}{5} = \frac{x^2+5}{5\left(\sqrt{5}x+1\right)}
\] Faccio il minimo \[
\frac{\sqrt{5}x + \sqrt{5}x + 1 = x^2+5}{5\left(\sqrt{5}x+1\right)}
\] \[
x^2-2\sqrt{5}x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x = \sqrt{5}-1 \vee x = \sqrt{5}+1
\] da controllare con le condizioni da imporre sul denominatore, che non ho fatto e lascio a "soppalco".
Vi ringrazio tantissimo...errore mio che confondevo $ sqrt5x $ con $ \sqrt{5x} $
ma il mcm è $ 5(sqrt5x+1) $ ? è il $ sqrt5 $ di $ sqrt5(sqrt5x+1) $ non si prende?
scusate ma ho qualche lacuna
grazie di tutto ragazzi
ma il mcm è $ 5(sqrt5x+1) $ ? è il $ sqrt5 $ di $ sqrt5(sqrt5x+1) $ non si prende?
scusate ma ho qualche lacuna
grazie di tutto ragazzi
moltiplicando numeratore e denominatore della $x/(sqrt5(sqrt5x+1)) $ per $sqrt5$ ottieni
$(sqrt5x)/(5(sqrt5x+1)) $ e hai risolto il problema.
$(sqrt5x)/(5(sqrt5x+1)) $ e hai risolto il problema.
"soppalco":
ma il mcm è $ 5(sqrt5x+1) $ ? è il $ sqrt5 $ di $ sqrt5(sqrt5x+1) $ non si prende?
In realtà \[
5 = \sqrt{5}\cdot \sqrt{5}
\] quindi il fattore $sqrt(5)$ è già preso nel momento in cui prendi il $5$.
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