Equazioni con i numeri complessi
Salve a tutti,
mi scuso in anticipo per l'ignoranza in merito e,forse, la banalità del quesito, comunque ve lo pongo lo stesso non riuscendo a capire come debba procedere.
$2z^2-(z-i)^2 = 0$
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
mi scuso in anticipo per l'ignoranza in merito e,forse, la banalità del quesito, comunque ve lo pongo lo stesso non riuscendo a capire come debba procedere.
$2z^2-(z-i)^2 = 0$
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
Risposte
a me non viene in mente qualche "manipolazione" particolare. penso che al primo passaggio convenga usare l'algebra di base dei polinomi per fare i calcoli e poi semplificare. hai provato a fare qualcosa? facci sapere a che punto riesci ad arrivare.
"adaBTTLS":
a me non viene in mente qualche "manipolazione" particolare. penso che al primo passaggio convenga usare l'algebra di base dei polinomi per fare i calcoli e poi semplificare. hai provato a fare qualcosa? facci sapere a che punto riesci ad arrivare.
Allora, svolgendo i calcoli otttengo
$2z^2-z^2-i^2+2iz = 0$
$z^2+2iz+1=0$
$z=-i +-sqrt(i^2-1)$
$z=-i +- i sqrt(2)$
Ora? Cosa dovrei fare?
io non applicherei la formula dopo aver semplificato; penso convenga porre $z=x+iy$ e separare le parti reale e immaginaria, anche se, come hai fatto tu, hai di fatto trovato due soluzioni immaginarie pure. controlliamo se si ottiene la stessa cosa.
"adaBTTLS":
io non applicherei la formula dopo aver semplificato; penso convenga porre $z=x+iy$ e separare le parti reale e immaginaria, anche se, come hai fatto tu, hai di fatto trovato due soluzioni immaginarie pure. controlliamo se si ottiene la stessa cosa.
Prendo carta e penna e ti faccio sapere..
ho controllato anch'io. si ottengono gli stessi risultati.
posta anche i passaggi dell'altra.
posta anche i passaggi dell'altra.
"poppilop":
[quote="adaBTTLS"]io non applicherei la formula dopo aver semplificato; penso convenga porre $z=x+iy$ e separare le parti reale e immaginaria, anche se, come hai fatto tu, hai di fatto trovato due soluzioni immaginarie pure. controlliamo se si ottiene la stessa cosa.
Prendo carta e penna e ti faccio sapere..[/quote]
Dal sistema ottenuto
$a^2-b^2+1-2$ $b=0$ $ab+a=0$
$a(b+1)=0$
Per $a=0$ $b=-1 +- sqrt(2)$
Per $b=-1$ $a^2=-2$
Siccome devo risolvere il tutto nel campo dei reali sarei tentato a scrivere $isqrt2$, tuttavia $a$ è la parte reale, quindi impossibile il secondo
sì, ok.
mentre dal primo ottieni le stesse soluzioni precedenti $z=(-1+-sqrt2)i$
mentre dal primo ottieni le stesse soluzioni precedenti $z=(-1+-sqrt2)i$
"adaBTTLS":
ho controllato anch'io. si ottengono gli stessi risultati.
posta anche i passaggi dell'altra.
Ecco, però di fronte a questa?
$z^2+(i-1)z-1=0$
$z=(-(i-1)+- sqrt(4-2i))/2$
non capisco... è un'altra?
la seconda che avevi postato a me viene $z^4+z^2+25=0$
la seconda che avevi postato a me viene $z^4+z^2+25=0$
"adaBTTLS":
non capisco... è un'altra?
la seconda che avevi postato a me viene $z^4+z^2+25=0$
Si, questa è un'altra. Potresti postare lo svolgimento per favore?
se ti riferisci alla seconda, te lo posto.
se ti riferisci a quella che hai scritto nel decimo post, io ho provato a trasformarla nel modo tradizionale, ma viene un sistema di quarto grado che non ho risolto ancora. i calcoli fatti finora però non sono difficili, e sono simili a quelli fatti per la prima. fammi sapere quale ti serve.
se ti riferisci a quella che hai scritto nel decimo post, io ho provato a trasformarla nel modo tradizionale, ma viene un sistema di quarto grado che non ho risolto ancora. i calcoli fatti finora però non sono difficili, e sono simili a quelli fatti per la prima. fammi sapere quale ti serve.
"adaBTTLS":
se ti riferisci alla seconda, te lo posto.
se ti riferisci a quella che hai scritto nel decimo post, io ho provato a trasformarla nel modo tradizionale, ma viene un sistema di quarto grado che non ho risolto ancora. i calcoli fatti finora però non sono difficili, e sono simili a quelli fatti per la prima. fammi sapere quale ti serve.
Entrambe, se non è un problema..
"poppilop":
$z=(-(i-1)+- sqrt(4-2i))/2$
Bisogna calcolare quella radice e mi inserisco per indicare un metodo che pochi conoscono. Poiché $i=sqrt(-1)$ siamo in presenza di un radicale doppio; si ha
$sqrt(4^2-(-2i)^2)=sqrt20=2sqrt5$
e quindi la formula dei radicali doppi dà
$+-sqrt(4-2i)=+-(sqrt((4+2sqrt5)/2)-sqrt((4-2sqrt5)/2))=+-(sqrt(2+sqrt5)-isqrt(sqrt5-2))$
Basta ora sostituire questo valore nella formula quotata. Il risultato è molto brutto e perciò sospetto che ci sia un errore a monte.
"giammaria":
[quote="poppilop"]$z=(-(i-1)+- sqrt(4-2i))/2$
Bisogna calcolare quella radice e mi inserisco per indicare un metodo che pochi conoscono. Poiché $i=sqrt(-1)$ siamo in presenza di un radicale doppio; si ha
$sqrt(4^2-(-2i)^2)=sqrt20=2sqrt5$
e quindi la formula dei radicali doppi dà
$+-sqrt(4-2i)=+-(sqrt((4+2sqrt5)/2)-sqrt((4-2sqrt5)/2))=+-(sqrt(2+sqrt5)-isqrt(sqrt5-2))$
Basta ora sostituire questo valore nella formula quotata. Il risultato è molto brutto e perciò sospetto che ci sia un errore a monte.[/quote]
Altrimenti potrei scrivere quel in forma trigonometrica ed estrarre la radice utilizzando le formule di bisezione, o sbaglio?
provo a postare la seconda:
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
$z^4+10z^2+25+2iz=z^2+2iz-1+3z^2+1$
$z^4+6z^2+25=0$
viene più semplice di come avevo scritto:
$z^2=-3+-4i$
vedi se hai un metodo veloce per la radice... ci risentiamo
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
$z^4+10z^2+25+2iz=z^2+2iz-1+3z^2+1$
$z^4+6z^2+25=0$
viene più semplice di come avevo scritto:
$z^2=-3+-4i$
vedi se hai un metodo veloce per la radice... ci risentiamo
"adaBTTLS":
provo a postare la seconda:
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
$z^4+10z^2+25+2iz=z^2+2iz-1+3z^2+1$
$z^4+6z^2+25=0$
viene più semplice di come avevo scritto:
$z^2=-3+-4i$
vedi se hai un metodo veloce per la radice... ci risentiamo
Ok, ricontrollo e vi faccio sapere domani, grazie mille
"adaBTTLS":
provo a postare la seconda:
$(z^2+5)^2+2iz=(z+i)^2+3z^2+1$
$z^4+10z^2+25+2iz=z^2+2iz-1+3z^2+1$
$z^4+6z^2+25=0$
viene più semplice di come avevo scritto:
$z^2=-3+-4i$
vedi se hai un metodo veloce per la radice... ci risentiamo
Potresti postarmi anche l'altra? Per favore..
continuo, perché avevo sbagliato i calcoli ed ho dovuto rifarli:
in maniera tradizionale, ponendo $z=x+iy$, si ha $z^2=x^2-y^2+2ixy$ e $z^4=x^4+4ix^3 y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4$
sostituendo, si ha il sistema
${(x^4-6x^2y^2+y^4+6x^2-6y^2+25=0), (4x^3y-4xy^3+12xy=0) :}$
$x=0$ e $y=0$ portano a soluzioni non reali
da $y^2=x^2+3 -> y^4=x^4+6x^2+9$
si ottiene, sostituendo e semplificando, ${(x^4+3x^2-4=0),(y^2=x^2+3) :}$
da cui le uniche soluzioni accettabili sono $x=+-1; y=+-2$
per quanto riguarda l'altra, a parte quello che hai scritto e quello che ti è stato già suggerito, non avrei altro da proporre se non ricorrere di nuovo al metodo tradizionale che porta ad un sistema di quarto grado.
avevo sospeso la soluzione. ti scrivo il sistema che avevo ottenuto:
${(x^2-y^2-y-x-1=0),(2xy+x-y=0) :}$
prova a continuare tu, intanto.
in maniera tradizionale, ponendo $z=x+iy$, si ha $z^2=x^2-y^2+2ixy$ e $z^4=x^4+4ix^3 y-6x^2y^2-4ixy^3+y^4$
sostituendo, si ha il sistema
${(x^4-6x^2y^2+y^4+6x^2-6y^2+25=0), (4x^3y-4xy^3+12xy=0) :}$
$x=0$ e $y=0$ portano a soluzioni non reali
da $y^2=x^2+3 -> y^4=x^4+6x^2+9$
si ottiene, sostituendo e semplificando, ${(x^4+3x^2-4=0),(y^2=x^2+3) :}$
da cui le uniche soluzioni accettabili sono $x=+-1; y=+-2$
per quanto riguarda l'altra, a parte quello che hai scritto e quello che ti è stato già suggerito, non avrei altro da proporre se non ricorrere di nuovo al metodo tradizionale che porta ad un sistema di quarto grado.
avevo sospeso la soluzione. ti scrivo il sistema che avevo ottenuto:
${(x^2-y^2-y-x-1=0),(2xy+x-y=0) :}$
prova a continuare tu, intanto.
aggiungo al messaggio precedente:
visto che per questa sera sto per chiudere, ho ritrovato i passaggi dell'ultimo sistema, ma, se non ho sbagliato i conti, non viene un'equazione risolvibile per via elementare: la scrivo qui se vi va di controllare.
sostituendo $x=y/(2y+1)$, ricavato dalla seconda equazione del sistema, nella prima, facendo il minimo comun denominatore e non considerando il denominatore stesso, si ha $4y^4+8y^3+10y^2+6y+1=0$
buona notte!
visto che per questa sera sto per chiudere, ho ritrovato i passaggi dell'ultimo sistema, ma, se non ho sbagliato i conti, non viene un'equazione risolvibile per via elementare: la scrivo qui se vi va di controllare.
sostituendo $x=y/(2y+1)$, ricavato dalla seconda equazione del sistema, nella prima, facendo il minimo comun denominatore e non considerando il denominatore stesso, si ha $4y^4+8y^3+10y^2+6y+1=0$
buona notte!
"poppilop":
[Altrimenti potrei scrivere quel in forma trigonometrica ed estrarre la radice utilizzando le formule di bisezione, o sbaglio?
Non sbagli ed è uno dei metodi tradizionali; un altro è porre $sqrt(4-2i)=u+iv$, elevare a quadrato ed eguagliare le parti reali e quelle immaginarie. Secondo me però il metodo che ho indicato è molto più veloce.
Risolvendo la $z^2+(i-1)z-1=0$ col metodo di qualche post fa e ponendo poi $z=x+iy$ si ottiene
$y=-(1+-sqrt(sqrt5-2))/2$
Mi sembra difficile arrivare a questo risultato col metodo proposto da adaBTTLS, a meno di aver già un'idea del risultato a cui pervenire (posso allora porre $y=-1/2+u$ e l'equazione di quarto grado diventa una biquadratica)
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