Equazioni complesse di terzo e quarto grado
Non riesco ad applicare il metodo risolutivo delle equazioni complesse di grado superiore al secondo. Posto qui un esempio, vi prego di correggermi e di darmi delle dritte su come migliorare...
Aggiunto 1 minuti più tardi:
poniamo
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Sostituendo
Aggiunto 8 minuti più tardi:
sviluppando i prodotti notevoli
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Semplificando
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Aggiunto 4 minuti più tardi:
adesso, posto
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Aggiunto 3 minuti più tardi:
In questo modo si dovrebbe giungere all'equazione risolvente
Aggiunto 2 minuti più tardi:
con
Teoricamente, calcolateci le radici cubiche delle soluzioni all'equazione scritta sopra, posso trovarmi le sei w (a due a due uguali), e dalle tre diverse v le tre y e di conseguenza le z, che sono le soluzioni che ci interessano. Fin qui il procedimento va bene?
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Sviluppiamo il prodotto notevole:
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Aggiunto 2 minuti più tardi:
denominatore comune:
Aggiunto 6 minuti più tardi:
moltiplicando entrambi i membri per 729 avremmo un equazione di questo tipo
per poter risolvere questa equazione, bisognerebbe porre
per eliminare il termine di primo grado in modo da rendere l'equzione biquadratica. Svolgendo i calcoli:
Aggiunto 1 minuti più tardi:
l'idea sarebbe di trovarmi t in questo modo, da t trovarmi h, da h trovarmi w, da w trovarmi y e da y trovarmi le z...
come vedete, piu procedo con questo metodo più l'equazione si avvicina terribilmente a un film dell'orrore, e le luci della speranza di rivedere la nostra amata z scompare in un oceano di numeri a 5 cifre...
Aggiunto 21 ore 59 minuti più tardi:
ehi che qualcuno mi illumini...:(
[math]z^3-iz^2-(1+i)z+2i=0[/math]
Aggiunto 1 minuti più tardi:
poniamo
[math]z=y+\frac{1}{3}i[/math]
Aggiunto 6 minuti più tardi:
Sostituendo
[math] \(y+\frac{1}{3}i\)^3-i\(y+\frac{1}{3}i\)^2-(1+i)(y+\frac{1}{3}i\)+2i=0[/math]
Aggiunto 8 minuti più tardi:
sviluppando i prodotti notevoli
[math]y^3+iy^2-\frac{1}{3}y-\frac{1}{27}i-i(y^2+\frac{2}{3}iy-\frac{1}{9})-y-\frac{1}{3}i-iy+\frac{1}{3}+2i=0[/math]
Aggiunto 4 minuti più tardi:
[math] y^3+iy^2-\frac{1}{3}y-\frac{1}{27}i-iy^2+\frac{2}{3}y+\frac{1}{9}i-y-\frac{1}{3}i-iy+\frac{1}{3}+2i=0[/math]
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Semplificando
[math]y^3-\frac{2}{3}y-iy+\frac{47}{27}i+\frac{1}{3}[/math]
Aggiunto 4 minuti più tardi:
[math]y^3-y(\frac{2}{3}+i)+\frac{1}{3}+\frac{47}{27}i[/math]
Aggiunto 4 minuti più tardi:
adesso, posto
[math] y=w+\frac{\frac{2}{3}+i}{3w} [/math]
Aggiunto 9 minuti più tardi:
Aggiunto 3 minuti più tardi:
In questo modo si dovrebbe giungere all'equazione risolvente
[math]h^2+(\frac{1}{3}+\frac{47}{27}i)h+\frac{\(\frac{2}{3}+i\)^3}{27}=0 [/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
con
[math] h = w^3 [/math]
Teoricamente, calcolateci le radici cubiche delle soluzioni all'equazione scritta sopra, posso trovarmi le sei w (a due a due uguali), e dalle tre diverse v le tre y e di conseguenza le z, che sono le soluzioni che ci interessano. Fin qui il procedimento va bene?
Aggiunto 2 minuti più tardi:
Sviluppiamo il prodotto notevole:
[math]h^2+\(\frac{1}{3}+\frac{47}{27}i\)h+\frac{\frac{8}{27}+\frac{4}{3}i-2-i}{27}[/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
[math]h^2+\(\frac{1}{3}+\frac{47}{27}i\)h+\frac{-\frac{46}{27}+\frac{4}{3}i}{27}=0[/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
[math] h^2+\(\frac{1}{3}+\frac{47}{27}i\)h+\frac{-46+36i}{729}[/math]
Aggiunto 2 minuti più tardi:
denominatore comune:
[math]\frac{729h^2+(243+1269i)h-46+36i}{729}=0[/math]
Aggiunto 6 minuti più tardi:
moltiplicando entrambi i membri per 729 avremmo un equazione di questo tipo
[math]729h^2+(243+1269i)h-46+36i=0[/math]
per poter risolvere questa equazione, bisognerebbe porre
[math]h=t-\frac{243+1269i}{1458}[/math]
per eliminare il termine di primo grado in modo da rendere l'equzione biquadratica. Svolgendo i calcoli:
[math]729(t-\frac{243+1269i}{1458})^2+(243+1269i)(t-\frac{243+1269i}{1458})-46+36i=0[/math]
Aggiunto 1 minuti più tardi:
l'idea sarebbe di trovarmi t in questo modo, da t trovarmi h, da h trovarmi w, da w trovarmi y e da y trovarmi le z...
come vedete, piu procedo con questo metodo più l'equazione si avvicina terribilmente a un film dell'orrore, e le luci della speranza di rivedere la nostra amata z scompare in un oceano di numeri a 5 cifre...
Aggiunto 21 ore 59 minuti più tardi:
ehi che qualcuno mi illumini...:(
Risposte
Dunque, c'è una cosa che non mi torna: se hai l'equazione
applichi la sostituzione
e quindi
Imponendo che il termine di secondo grado non ci sia, ottieni la condizione
da cui l'equazione
Ora, nel tuo caso
e quindi
e quindi l'equazione,
----------------------------------------------------------------------
Ritorno al caso generale. Una volta trovata l'equazione in
da cui
e si impone che
in questo modo l'equazione diventa
da cui, ponendo
Nel tuo caso allora l'equazione diventa
CONTINUO NELL?ULTIMO POST!
[math]z^3+az^2+bz+c=0[/math]
applichi la sostituzione
[math]z=u+\alpha[/math]
per ridurla ad una in cui non sia presente il termine di secondo grado. Ora, se fai i conti in generale, ti viene[math]u^3+3\alpha u^2+3\alpha^2 u+\alpha^3+au^2+2a\alpha u+a\alpha^2+bu+b\alpha+c=0[/math]
e quindi
[math]u^3+(3\alpha+a)u^2+(3\alpha^2+2a\alpha+b)u+(\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c)=0[/math]
Imponendo che il termine di secondo grado non ci sia, ottieni la condizione
[math]\alpha=-\frac{a}{3}[/math]
da cui l'equazione
[math]u^3+\frac{1}{3}(3b-a^2)u+\frac{1}{27}(2a^3-9ab+27c)=0[/math]
Ora, nel tuo caso
[math]a=-i,\ b=-1-i,\ c=2i[/math]
e quindi
[math]\frac{1}{3}(3b-a^2)=\frac{1}{3}(-3-3i+1)=-\frac{1}{3}(2+3i),\\ \frac{1}{27}(2a^3-9ab+27c)=\frac{1}{27}(2i-9i+9+54i)=\frac{1}{27}(9+47i)[/math]
e quindi l'equazione,
[math]u^3-\frac{1}{3}(3i+1)u+\frac{9+47i}{27}=0[/math]
----------------------------------------------------------------------
Ritorno al caso generale. Una volta trovata l'equazione in
[math]u[/math]
poni[math]u=w+\frac{\beta}{w}[/math]
da cui
[math]w^3+3\beta w+\frac{3\beta^2}{w}+\frac{\beta^3}{w^3}+(b-a^2/3)w+\frac{\beta(b-a^2/3)}{w}+\frac{1}{27}(2a^3-9ab+27c)=0[/math]
e si impone che
[math]3\beta+b-\frac{a^2}{3}=0\quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{1}{9}(a^2-3b)[/math]
in questo modo l'equazione diventa
[math]w^3+\frac{(a^2-3b)^3}{729 w^3}+\frac{1}{27}(2a^3-9ab+27c)=0[/math]
da cui, ponendo
[math]t=(3w)^3[/math]
, l'equazione di secondo grado[math]t^2+(2a^3-9ab+27c)t+(a^2-3b)^3=0[/math]
Nel tuo caso allora l'equazione diventa
[math]t^2+(9+47i)t+(-46+9i)=0[/math]
CONTINUO NELL?ULTIMO POST!
mmmmm ci provo
Comunque vengono numeracci assurdi! :asd
Mi consola parecchio....!
Aggiunto 15 secondi più tardi:
Professore sadico?
Aggiunto 15 secondi più tardi:
Professore sadico?
Naaaaaa......... secondo me ha solo messo numeri a caso. :asd
Prof. i calcoli mi vengono come avevo fatto prima...per quanto lo rifaccio mi compare sempre quel "-2/3y" in più....a me viene
y^3-2/3y-iy+47/27i+9/27....è quasi identico a come l'ha scritto lei...vorrei sapere dove ho sbagliato...il calcolo dettagliato lo trova nel primo post...
y^3-2/3y-iy+47/27i+9/27....è quasi identico a come l'ha scritto lei...vorrei sapere dove ho sbagliato...il calcolo dettagliato lo trova nel primo post...
Azz, ho sbagliato io un segno. Modifico quello che ho scritto prima!
FINISCO DOPO CHE DEVO SCAPPARE!
FINISCO DOPO CHE DEVO SCAPPARE!
Aspetterò con ansia!!!
Aggiunto 2 ore 42 minuti più tardi:
nel frattempo posto altri problemi che mi hanno dato noie.
a)Trovare il numero di soluzioni della seguente eq. al variare di lambda
A occhio e croce, visto che la quantità al secondo membro è tutta reale (e positiva) lambda non dovrebbe influire sul numero di soluzioni dell'equazione...le soluzioni sono le radici ottave di quella quantità lì...
ma nooo...troppo semplice...deve esserci un inghippo...da qualche parte deve esserci, per forza...
Aggiunto 12 minuti più tardi:
b). Risolvere disequazioni di questo tipo
[math]|z-3|
Aggiunto 2 ore 42 minuti più tardi:
nel frattempo posto altri problemi che mi hanno dato noie.
a)Trovare il numero di soluzioni della seguente eq. al variare di lambda
[math] z^8=\frac{2|z|^2+\lambda}{2+|z|}|z|^7[/math]
A occhio e croce, visto che la quantità al secondo membro è tutta reale (e positiva) lambda non dovrebbe influire sul numero di soluzioni dell'equazione...le soluzioni sono le radici ottave di quella quantità lì...
ma nooo...troppo semplice...deve esserci un inghippo...da qualche parte deve esserci, per forza...
Aggiunto 12 minuti più tardi:
b). Risolvere disequazioni di questo tipo
[math]|z-3|
CONTINUAZIONE DEL PRIMO PROBLEMA:
l'equazione da risolvere risulta allora
con
Ti assicuro che, dopo un po' di calcoli riesci ad arrivare ad una soluzione senza problemi. Tuttavia, mi sono accorto poco fa di una cosa:
e quindi l'equazione diventa
A questo punto è facile calcolare le radici!
Per il problema a), io direi che ti conviene pensare a
Ora se
e questo vuol dire che l'esponenziale a sinistra è un numero reale: quindi
Trovi allora, per ogni
e quindi hai l'equazione
Essa ammette soluzioni solo se
e dovendo essere pure
e, sotto la condizione di esistenza della radice
la soluzione con il - va scelta solo per i valori di
Ricapitolando:
la tua equazione ammette soluzioni se e solo se
e la determinazione dei moduli è la seguente
la quale risulta il luogo geometrico dei punti esterni alla circonferenza di centro
P.S.1: se vuoi, poi posto i calcoli di come arrivare direttamente alle soluzioni dell'equazione precedente.
P.S.2: ho risolto il problema solo per il parametro reale. Ma credo che, con qualche calcolo, si possa anche risolvere nel caso di
l'equazione da risolvere risulta allora
[math]t^2+(9+47i)t+(-46+9i)=0[/math]
con
[math]t=27w^3,\ u=w+\frac{2+3i}{9w},\ z=u+\frac{i}{3}[/math]
.Ti assicuro che, dopo un po' di calcoli riesci ad arrivare ad una soluzione senza problemi. Tuttavia, mi sono accorto poco fa di una cosa:
[math]z=1[/math]
è una radice dell'equazione! :asd Infatti, se scrivi[math]z^3-iz^2-(1+i)z+2i=z^3-iz^2-z-iz+i+i=z(z^2-1)-i(z^2-1)-i(z-1)=\\
z(z-1)(z+1)-i(z-1)(z+1)-i(z-1)=(z-1)[z(z+1)-i(z+1)-i][/math]
z(z-1)(z+1)-i(z-1)(z+1)-i(z-1)=(z-1)[z(z+1)-i(z+1)-i][/math]
e quindi l'equazione diventa
[math]z-1=0\qquad z^2+(1-i)z-2i=0[/math]
A questo punto è facile calcolare le radici!
Per il problema a), io direi che ti conviene pensare a
[math]z=\rho e^{i\theta}[/math]
scitto in forma polare, cosicché avrai[math]\rho^8\cdot e^{8i\theta}=\frac{2\rho^2+\lambda}{2+\rho}\cdot\rho^7[/math]
Ora se
[math]\lambda\in\mathbb{R}[/math]
allora, supponendo che [math]\rho\neq 0[/math]
puoi scrivere[math]e^{i8\theta}=\frac{2\rho^2+\lambda}{(2+\rho)\rho}\in\mathbb{R}[/math]
e questo vuol dire che l'esponenziale a sinistra è un numero reale: quindi
[math]\sin(8\theta)=0\ \Rightarrow\ 8\theta=2k\pi\ \Rightarrow\ \theta=\frac{k\pi}{4},\qquad k=0,\ldots, 7[/math]
Trovi allora, per ogni
[math]k[/math]
fissato, un numero complesso [math]z[/math]
. A questo punto, dal momento che [math]e^{i8\theta}=1[/math]
(per ogni scelta di k) segue che[math]1=\frac{2\rho^2+\lambda}{(2+\rho)\rho}\ \Rightarrow\ 2\rho+\rho^2=2\rho^2+\lambda[/math]
e quindi hai l'equazione
[math]\rho^2-2\rho+\lambda=0[/math]
Essa ammette soluzioni solo se
[math]4-4\lambda\geq 0[/math]
, cioè per [math]\lambda\leq 1[/math]
. In tal caso si ha[math]\rho_{1,2}=\frac{2\pm2\sqrt{1-\lambda}}{2}=1\pm\sqrt{1-\lambda}[/math]
e dovendo essere pure
[math]\rho\geq 0[/math]
(è il modulo del numero complesso), ne segue che la soluzione con il segno + è sempre accettabile. Invece essendo[math]1-\sqrt{1-\lambda}\geq 0\ \Leftrightarrow\ 1\geq\sqrt{1-\lambda}[/math]
e, sotto la condizione di esistenza della radice
[math]1\geq 1-\lambda\ \Rightarrow\ \lambda\leq 0[/math]
la soluzione con il - va scelta solo per i valori di
[math]\lambda\geq 0[/math]
. Ricapitolando:
la tua equazione ammette soluzioni se e solo se
[math]\lambda\leq 1[/math]
. Si ha in particolare che le soluzioni sono della forma[math]z=\rho(\lambda)\cdot e^{i\theta},\qquad theta=\frac{k\pi}{4},\ k=0,\ldots,7[/math]
e la determinazione dei moduli è la seguente
[math]\rho(\lambda)=\left\{\begin{array}{lcl}
1\pm\sqrt{1-\lambda} & & 0\leq\lambda\leq 1\\ & & \\ 1+\sqrt{1-\lambda} & & \lambda0[/math]
1\pm\sqrt{1-\lambda} & & 0\leq\lambda\leq 1\\ & & \\ 1+\sqrt{1-\lambda} & & \lambda0[/math]
la quale risulta il luogo geometrico dei punti esterni alla circonferenza di centro
[math]C(-19/3,0)[/math]
e raggio [math]r=14/3[/math]
.P.S.1: se vuoi, poi posto i calcoli di come arrivare direttamente alle soluzioni dell'equazione precedente.
P.S.2: ho risolto il problema solo per il parametro reale. Ma credo che, con qualche calcolo, si possa anche risolvere nel caso di
[math]\lambda[/math]
complesso.
Si riferisce all'equazione di terzo grado? Si, la prego, mi posti i calcoli, ci sto letteralmente impazzendo!
Facciamo così, li posto dopo capodanno, che non ho tempo per scrivere!
Problema sulla circonferenza: è sicuro che il termine di primo grado con la x non sia 38x, invece di 26x?
# Newton_1372 :
Problema sulla circonferenza: è sicuro che il termine di primo grado con la x non sia 38x, invece di 26x?
Corretto sopra
Aggiunto 1 giorni più tardi:
Allora, ti risolvo l'equazione in entrambi i modi. Iniziamo con l'equazione ridotta al secondo ordine:
[math]t^2+(9+47i)t+(-46+9i)=0[/math]
con
[math]t=27w^3,\ u=w+\frac{2+3i}{9w},\ z=u+\frac{i}{3}[/math]
.Per il discriminante abbiamo
[math]\Delta=(9+47i)^2-4(-46+9i)=-1944+810i=81(-24+10i)[/math]
Cerchiamo allora un numero complesso
[math]x+iy[/math]
tale che[math](x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy=-24+10i[/math]
da cui
[math]x^2-y^2=-24,\quad 2xy=10[/math]
e dalla seconda
[math]y=5/x[/math]
per cui[math]x^4+24x^2+25=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]x=\pm 1[/math]
(uniche accettabili) e quindi il numero complesso cercato è [math]\pm(1+5i)[/math]
e si ha[math]\Delta=[\pm9(1+5i)]^2[/math]
Ne segue che
[math]t=\frac{-9-47i\pm(9+45i)}{2}[/math]
le cui radici sono
[math]t=-9-46i,\qquad t=-i[/math]
.Ora, usiamo solo la seconda radice: infatti la tua equazione originale è di terzo grado e quindi ammette solo 3 radici. Basterà usare allora la radice
[math]t=-i[/math]
per risolvere tutto. Abbiamo[math]w^3=-\frac{i}{27}[/math]
le cui soluzioni sono
[math]w_1=\frac{i}{3},\qquad w_2=\frac{1}{3}\left(-\frac{sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right),\qquad w_3=\frac{1}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)[/math]
Per i reciproci di questi numeri ha
[math]\frac{1}{w_1}=-3i,\qquad \frac{1}{w_2}=\frac{3}{2}\left(-\sqrt{3}+i\right),\qquad \frac{1}{w_3}=\frac{3}{2}\left(\sqrt{3}+i\right)[/math]
e quindi
[math]u_1=w_1+\frac{2+3i}{9}\cdot\frac{1}{w_1}=\frac{i}{3}-\frac{2i}{3}+1=1-\frac{i}{3}[/math]
[math]u_{2,3}=w_{2,3}+\frac{2+3i}{9}\cdot\frac{1}{w_{2,3}}=\pm\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{i}{6}+\frac{2+3i}{6}\cdot(\pm\sqrt{3}+i)=\\
=\pm\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{i}{6}\pm\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{i}{3}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{3}-1)+\frac{1}{6}(\pm3\sqrt{3}+1) i[/math]
=\pm\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{i}{6}\pm\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{i}{3}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{3}-1)+\frac{1}{6}(\pm3\sqrt{3}+1) i[/math]
Infine:
[math]z_1=u_1+\frac{i}{3}=1[/math]
[math]z_{2,3}=u_{2,3}+\frac{i}{3}=\frac{1}{2}\left[(\pm\sqrt{3}-1)+(\pm\sqrt{3}+1) i\right][/math]
Che sono le soluzioni.
Uso ora il secondo metodo: visto che
[math]z^3-iz^2-(1+i)z+2i=z^3-iz^2-z-iz+i+i=z(z^2-1)-i(z^2-1)-i(z-1)=\\
z(z-1)(z+1)-i(z-1)(z+1)-i(z-1)=(z-1)[z(z+1)-i(z+1)-i][/math]
z(z-1)(z+1)-i(z-1)(z+1)-i(z-1)=(z-1)[z(z+1)-i(z+1)-i][/math]
e quindi l'equazione diventa
[math]z-1=0\qquad z^2+(1-i)z-2i=0[/math]
Per risolvere la seconda, osserva che
[math]\Delta=(1-i)^2+8i=6i=6(\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2))[/math]
per cui, essendo
[math]w_k=\sqrt{\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)}=\cos\frac{\pi+4k\pi}{4}+i\sin\frac{\pi+4k\pi}{4}[/math]
segue
[math]w_0=\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i),\qquad w_1=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)[/math]
e quindi
[math]z_{1,2}=\frac{-1+i\pm\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)}{2}=
\frac{-1+i\pm\sqrt{3}(1+i)}{2}[/math]
\frac{-1+i\pm\sqrt{3}(1+i)}{2}[/math]
che sono esattamente le stesse radici trovate prima.
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