Equazioni

[cntrone]

Assegnata l'equazione $x^2+ax+b=0$ si scriva l'equazione di 2° grado avente come
radici le reciproche dell'equazione assegnata; quale legame deve intercorrere tra a e
b affinché ammetta due radici $x_{1},x_{2}$ tali che $0 potete aiutarmi?? grazie

[Steven11]

Ricorda le relazioni che incorrono tra coefficienti e radici di un polinomio di secondo grado.
Ti scrivo il caso generale: avendo l'equazione
$ax^2+bx+c=0$
che ammette due radici (soluzioni) $x_1$ e $x_2$ hai
$x_1+x_2=-b/a$
e
$x_1x_2=c/a$

Prova a impostare il problema adesso.
Ciao!

[cntrone]

ho risolto la prima parte del problema..ora per quanto riguarda la seconda ho dei problemi..

io ho pensato che per trovare il legame tra $a$ e $b$ devo impostare il seguente sistema:

$\{((-a+sqrt((a^2-4b)))/2>0),((-a+sqrt((a^2-4b)))/2<1),((-a-sqrt((a^2-4b)))/2>1):}

ma non sono convinto..in più non ricordo le disequazione irrazionali..

mi potreste spiegare come procedere?? grazie..ciao

[Sk_Anonymous]

Le radici dell'equazione di 2° sono:
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
Sommando le radici si ha: $x_1+x_2= -b/a$
Moltiplicando le due radici si ha:
$x_1*x_2=((-b+sqrt(b^2-4ac))*(-b-sqrt(b^2-4ac)))/(4a^2)=c/a$
Le reciproche sono:
Somma: $-a/b$, Prodotto: $a/c$, sostituendo nell'equazione:
$bcx^2-acx+ba$
Perché $x_1$ sia minore di 1, ma maggiore di 0, si dovrà avere:
$(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)\ <\ 1$, da cui
$(-b-sqrt(b^2-4ac))<2a$
$-sqrt(b^2-4ac))<2a+b$
$b^2-4ac<(2a+b)^2$
$b^2-4ac<4a^2+4ab+b^2$
$-4ac<4a^2+4ab$
$-ac $-c che è il legame cercato.

[Steven11]

Le reciproche sono:
Somma: $-a/b$, Prodotto: $a/c$, sostituendo nell'equazione:
$bcx^2-acx+ba$

Scusa, che ragionamento hai fatto?
Se tu hai una somma
$x_1+x_2=-b/a$
mica puoi fare il reciproco di ogni addendo e ottenere una nuova uguaglianza.
Non è vero che se $x+y=z$ allora $1/x+1/y=1/z$

$-ac $-c

Forse mi sfugge qualche ipotesi, ma io non sapevo che si potesse dividere così a cuor leggere nelle disequazioni...

[cntrone]

allora io ho fatto i miei calcoli e l'equazione delle radici reciproche dovrebbe essere:
$x^2-a/bx+1/b=0$
e dovrebbe essere corretto..
il mio problema era la seconda parte del problema
ho fatto lo stesso ragionamento di IvanTerr però effettivamente essendo disequazioni irrazionali si dovrebbero fare molti passaggi e volevo sapere se è quella la strada da seguire..

qualcuno mi aiuta??

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ma la domanda

"cntrone":quale legame deve intercorrere tra a e
b affinché ammetta due radici $x_{1},x_{2}$ tali che $0

si riferisce all'equazione $x^2+ax+b=0$ o a quella che ha come soluzioni le reciproche di questa?

[cntrone]

"Martino":Ma la domanda

[quote="cntrone"]quale legame deve intercorrere tra a e
b affinché ammetta due radici $x_{1},x_{2}$ tali che $0

si riferisce all'equazione $x^2+ax+b=0$ o a quella che ha come soluzioni le reciproche di questa?[/quote]

purtroppo non lo so neanche io..

secondo me si riferisce alla prima equazione..ma dopotutto non è quello che conta..a me interessa capire il procedimento..

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Beh, allora facciamolo per $x^2+ax+b=0$. Se chiami

$x_1 = (-a-sqrt{a^2-4b})/2 < (-a+sqrt{a^2-4b})/2 = x_2$

allora la disuguaglianza stretta (dedotta dalla consegna) si traduce nel fatto che $a^2-4b ne 0$. Quindi hai la condizione $a^2-4b>0$ che dovrà sempre valere.
La condizione $0
${(x_1 = (-a-sqrt{a^2-4b})/2 > 0),(x_1 = (-a-sqrt{a^2-4b})/2<1),(x_2 = (-a+sqrt{a^2-4b})/2>1):}$

che dopo un passaggio si riscrive cosi':

${(sqrt{a^2-4b}<-a),(sqrt{a^2-4b}>(-a-2)),(sqrt{a^2-4b}>a+2):}$

Ora il sistema formato solo da seconda e terza equazione di tale sistema equivale alla sola equazione $sqrt{a^2-4b}>|a+2|$ (infatti $x>|y|$ se e solo se $x>y$ e $x>(-y)$, per ogni $x,y$). Quindi ci siamo ridotti al sistema

${(sqrt{a^2-4b}<-a),(sqrt{a^2-4b}>|a+2|):}$

Questo è facile da risolvere. Osserva che nella seconda equazione di tale sistema puoi tranquillamente elevare al quadrato entrambi i membri, e procedi. Tenendo conto della condizione $a^2-4b>0$.