Equazioni 2° grado e formula risolutiva.
Salve, leggendo il libro L'equazione impossibile di Mario Livio, sono venuto a conoscenza di una caratteristica delle equazioni di 2° grado che non conoscevo. Nel libro viene spiegato che sia la somma che il prodotto delle 2 soluzioni $x_1$ e $x_2$ può essere espressa nei termini dei coefficienti $a,b,c$ dell'equazione stessa.
Ovvero:
$x_1+x_2=-b/a$ e $x_1*x_2=c/a$
La cosa mi ha colpito molto, , e mi chiedo come mai per la risoluzione venga sempre usata la famosa formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ quando invece un semplice sistema con i coefficienti porterebbe alla soluzione senza dover ricorrere alla radice quadrata.
Ovvero:
$x_1+x_2=-b/a$ e $x_1*x_2=c/a$
La cosa mi ha colpito molto, , e mi chiedo come mai per la risoluzione venga sempre usata la famosa formula $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ quando invece un semplice sistema con i coefficienti porterebbe alla soluzione senza dover ricorrere alla radice quadrata.
Risposte
forse perchè il sistema non sempre è così semplice...
Molto più semplicemente perché si ritornerebbe al punto di partenza:
[tex]\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\
x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a} - x_{2}\\
x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
\left(-\frac{b}{a}-x_{2})\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
-x_{2}\frac{b}{a}-x_{2}^{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
-bx_{2}-ax_{2}^{2}=c
\end{cases}[/tex]
e quindi si avrebbe da risolvere [tex]-ax_{2}^{2}-bx_{2}-c=0 \iff ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=0[/tex].
[tex]\begin{cases}
x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}\\
x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a} - x_{2}\\
x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
\left(-\frac{b}{a}-x_{2})\cdot x_{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
-x_{2}\frac{b}{a}-x_{2}^{2}=\frac{c}{a}
\end{cases}
\iff
\begin{cases}
x_{1}=-\frac{b}{a}-x_{2}\\
-bx_{2}-ax_{2}^{2}=c
\end{cases}[/tex]
e quindi si avrebbe da risolvere [tex]-ax_{2}^{2}-bx_{2}-c=0 \iff ax_{2}^{2}+bx_{2}+c=0[/tex].
"WiZaRd":
Molto più semplicemente perché si ritornerebbe al punto di partenza:
Ah ecco perchè!
Ero sicuro che doveva esserci un buon motivo ...
Grazie mille!
Di niente!
quello sopra è un sistema di secondo grado!
se non mi sbaglio si definisce simmetrico, e come ogni sistema
simmetrico si ha pure simmetria nelle soluzioni.
se non mi sbaglio si definisce simmetrico, e come ogni sistema
simmetrico si ha pure simmetria nelle soluzioni.
ovvero per il sistema simmetrico( vedi sopra) risulta:
$x'_2 = \frac{-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x''_2 = \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x'_1 = \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x''_1 = \frac{-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
qualcuno più in forma , confermi o mi corregga se sbaglio.
buon a serata!
$x'_2 = \frac{-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x''_2 = \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x'_1 = \frac{-b -\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
$x''_1 = \frac{-b +\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
qualcuno più in forma , confermi o mi corregga se sbaglio.
buon a serata!
"salfor76":
quello sopra è un sistema di secondo grado!
se non mi sbaglio si definisce simmetrico, e come ogni sistema
simmetrico si ha pure simmetria nelle soluzioni.
Infatti la simmetria è proprio l'argomento trattato nel libro...
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