Equazione valore assoluto
C'è una cosa su cui non mi sono soffermato mai tanto e spero che qualcuno abbia voglia di ragionare con me per far capire da dove discenda.
Ricordo che mi è stata introdotta la soluzione di un valore assoluto nella equazione come:
1) $|g(x)|=c$ se c>0 le soluzioni sono:
- g(x)=c
- g(x)=-c
2) Identicamente se: ho $|g(x)|=|f(x)|$
Tuttavia se avessi:
|A(x)|=B(x)
Per le soluzioni devo stare atteto ai casi $A(x)>=0$ e $A(x)<0$ e metterli a sistema con la soluzione dell'equazione con il modulo.
Mi chiedo cosa garantisca nei casi 1, 2) che non debba fare attenzione a $g(x)>=0$ e $g(x)<0$ rendendo superfluo metterlo nel sistema risolutivo.
Stessa cosa nelmodulo, posso evitarlo, ma non afferro bene perché
Vi ringrazio molto.
Ricordo che mi è stata introdotta la soluzione di un valore assoluto nella equazione come:
1) $|g(x)|=c$ se c>0 le soluzioni sono:
- g(x)=c
- g(x)=-c
2) Identicamente se: ho $|g(x)|=|f(x)|$
Tuttavia se avessi:
|A(x)|=B(x)
Per le soluzioni devo stare atteto ai casi $A(x)>=0$ e $A(x)<0$ e metterli a sistema con la soluzione dell'equazione con il modulo.
Mi chiedo cosa garantisca nei casi 1, 2) che non debba fare attenzione a $g(x)>=0$ e $g(x)<0$ rendendo superfluo metterlo nel sistema risolutivo.
Stessa cosa nelmodulo, posso evitarlo, ma non afferro bene perché
Vi ringrazio molto.
Risposte
Cominciamo col caso 1, con c>0. Da $g(x)=c$ consegue $g(x)>0$ e quindi non occorre imporre questa condizione; ragionamento analogo con $g(x)=-c$.
Passiamo al caso 2, in cui il ragionamento è: le due funzioni possono avere lo stesso segno, ed allora $f(x)=g(x)$; oppure possono avere segno opposto, ed allora $f(x)=-g(x)$. Non occorre sapere quale sia il loro segno.
Diverso è l'ultimo caso, in cui devi inizialmente imporre $B(x)>=0$ (altrimenti l'equazione è impossibile); questa condizione va messa a sistema con $[A(x)=B(x)]vv[A(x)=-B(x)]$, ragionando come nel caso 1. Il ragionamento sul segno di $A(x)$ mi sembra più contorto.
Passiamo al caso 2, in cui il ragionamento è: le due funzioni possono avere lo stesso segno, ed allora $f(x)=g(x)$; oppure possono avere segno opposto, ed allora $f(x)=-g(x)$. Non occorre sapere quale sia il loro segno.
Diverso è l'ultimo caso, in cui devi inizialmente imporre $B(x)>=0$ (altrimenti l'equazione è impossibile); questa condizione va messa a sistema con $[A(x)=B(x)]vv[A(x)=-B(x)]$, ragionando come nel caso 1. Il ragionamento sul segno di $A(x)$ mi sembra più contorto.
[ot]Sinceramente, io continuo a non capire perché quando si parla di "valore assoluto" si debbano "tirar fuori" un sacco di casi "particolari" che non fanno altro che "incasinare" l'allievo.
Si spiegasse per bene, fino alla noia, che il valore assoluto è sostanzialmente questo:
$|f(x)| = {(f(x)\text( se )f(x)>=0),(-f(x)\text( se )f(x)<0):}$.
Finito.
IMHO.[/ot]
Cordialmente, Alex
Si spiegasse per bene, fino alla noia, che il valore assoluto è sostanzialmente questo:
$|f(x)| = {(f(x)\text( se )f(x)>=0),(-f(x)\text( se )f(x)<0):}$.
Finito.
IMHO.[/ot]
Cordialmente, Alex
Grazie mille per le risposte.
Vorrei soffermarmi sul caso, perché poi il dubbio si estenderebbe anche sugli altri a cascata..
Vorrei soffermarmi sul caso, perché poi il dubbio si estenderebbe anche sugli altri a cascata..
"giammaria":
Cominciamo col caso 1, con c>0. Da $g(x)=c$ consegue $g(x)>0$ e quindi non occorre imporre questa condizione; ragionamento analogo con $g(x)=-c$.
Ho l'impressione che tu stia confondendo il verso di una disequazione con quello del risultato, mentre possono essere diversi. Ad esempio, da $5-x>3$ ricavi $x<2$.
Quindi da $g(x)>0$ non è detto che si ricavi $x>A$ e non c'è alcun motivo per cui debba essere $R>=A$: devi pensare non al valore di $x$ ma a quello di $g(x)$. Se $g(x)$ è uguale ad un numero positivo, allora è certo maggiore di zero (e non importa se per caso $x$ è negativo). Il risultato non cambia se imponi anche $g(x)>0$, ma è solo una perdita di tempo.
Quindi da $g(x)>0$ non è detto che si ricavi $x>A$ e non c'è alcun motivo per cui debba essere $R>=A$: devi pensare non al valore di $x$ ma a quello di $g(x)$. Se $g(x)$ è uguale ad un numero positivo, allora è certo maggiore di zero (e non importa se per caso $x$ è negativo). Il risultato non cambia se imponi anche $g(x)>0$, ma è solo una perdita di tempo.
Grazie ancora:)
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