Equazione trigonometrica - uso del coseno [RISOLTO]
Hola 
Sono alle prese con questa equazione:
Il prof. la svolge portando tutto in seno:
poi dopo un po' di passaggi impone $t = sin(x) $ e risolve il polinomio di secondo grado.
Io ho provato a portare tutto in coseno (per esercitarmi provo vie diverse):
ma mi sembra una strada complicata e boh, magari non praticabile
Sapete dirmi se ho speranze di risolvere usando solo i coseni e in quel caso potreste darmi degli indizi su come procedere? Perché quella radice mi sembra faccia un casino enorme
PS ho messo il ± alla radice ma boh, credo di avere le idee confuse
Sono alle prese con questa equazione:
$2cos²(x) + 5sin(x) = 4$
Il prof. la svolge portando tutto in seno:
$2 (1 - sin²(x)) + 5sin(x) - 4 = 0$
poi dopo un po' di passaggi impone $t = sin(x) $ e risolve il polinomio di secondo grado.
Io ho provato a portare tutto in coseno (per esercitarmi provo vie diverse):
$2cos²(x) + 5[±sqrt(1 - cos²(x))] - 4 = 0$
ma mi sembra una strada complicata e boh, magari non praticabile
Sapete dirmi se ho speranze di risolvere usando solo i coseni e in quel caso potreste darmi degli indizi su come procedere? Perché quella radice mi sembra faccia un casino enorme
PS ho messo il ± alla radice ma boh, credo di avere le idee confuse
Risposte
Credo che si tratti di una soluzione senz'altro più complessa, ma se è corretta dovrebbe riportare come l'altra. La matematica in teoria non prende in giro, a prescindere dal metodo, se è corretto la soluzione è la stessa.
Per come l'hai fatta tu, puoi porre
$t=cos(x)$
per poi evidenziare che $t\in [-1;1]$ come condizione di esistenza della radice (cosa che comunque non stona troppo con il fatto che $t=cos(x)$) e risolvere le due equazioni
$2t^2+5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$
$2t^2-5 \sqrt(1-t^2)-4=0$
solo che sviluppando queste ho idea che devi vedere se ci sono anche altre condizioni per la radice. Mi sa che conviene direttamente risolverla un po' a cuor leggero per poi controllare nell'equazione principale se le soluzioni trovate la soddisfano e scartare quelle che non vanno bene.
Per come l'hai fatta tu, puoi porre
$t=cos(x)$
per poi evidenziare che $t\in [-1;1]$ come condizione di esistenza della radice (cosa che comunque non stona troppo con il fatto che $t=cos(x)$) e risolvere le due equazioni
$2t^2+5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$
$2t^2-5 \sqrt(1-t^2)-4=0$
solo che sviluppando queste ho idea che devi vedere se ci sono anche altre condizioni per la radice. Mi sa che conviene direttamente risolverla un po' a cuor leggero per poi controllare nell'equazione principale se le soluzioni trovate la soddisfano e scartare quelle che non vanno bene.
Grazie Zero87 
Non avevo proprio pensato di semplificare il problema imponendo $t=cos^2(x)$ !!!
Ho svolto l'esercizio e in quel modo diventa semplice... anche se...
Ho trovato due soluzioni per $t=\frac{3}{4}$ (buona) e $t=-3$ (non buona)
a questo punto però, guardando la circonferenza, mi accorgo che oltre a controllare queste soluzioni di t nelle eq. $2t^2±5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$, mi tocca anche controllare le soluzioni di x nell'eq. principale, perché per $t = \frac{3}{4}$ ottengo $cos(x) = ±\frac{sqrt(3)}{2}$ che posso ottenere sia con le soluzioni buone dell'eq. principale $x=\frac{1\pi}{6}; x=\frac{5\pi}{6}$ che con altre non buone $x=\frac{7\pi}{6}; x=\frac{11\pi}{6}$ (da 0 a 2π)
Guardando su Geogebra l'eq. principale e le eq. solo con il seno (versione del prof.) e solo con il coseno, vedo che nel caso dell'utilizzo del solo coseno la funzione si interseca con l'asse delle x in 2 punti non presenti nell'eq. principale. Mi viene da pensare che derivi da quel coseno al quadrato che utilizzo al posto del seno:
In altre parole, portando tutto a seno, ottengo solo le soluzioni buone, al contrario usando solo il coseno ottengo anche soluzioni non buone e quindi devo fare più controlli per verificare.
PS
nella radice t non dovrebbe essere di primo grado?
Non avevo proprio pensato di semplificare il problema imponendo $t=cos^2(x)$ !!!
Ho svolto l'esercizio e in quel modo diventa semplice... anche se...
Ho trovato due soluzioni per $t=\frac{3}{4}$ (buona) e $t=-3$ (non buona)
a questo punto però, guardando la circonferenza, mi accorgo che oltre a controllare queste soluzioni di t nelle eq. $2t^2±5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$, mi tocca anche controllare le soluzioni di x nell'eq. principale, perché per $t = \frac{3}{4}$ ottengo $cos(x) = ±\frac{sqrt(3)}{2}$ che posso ottenere sia con le soluzioni buone dell'eq. principale $x=\frac{1\pi}{6}; x=\frac{5\pi}{6}$ che con altre non buone $x=\frac{7\pi}{6}; x=\frac{11\pi}{6}$ (da 0 a 2π)
Guardando su Geogebra l'eq. principale e le eq. solo con il seno (versione del prof.) e solo con il coseno, vedo che nel caso dell'utilizzo del solo coseno la funzione si interseca con l'asse delle x in 2 punti non presenti nell'eq. principale. Mi viene da pensare che derivi da quel coseno al quadrato che utilizzo al posto del seno:
$\sqrt(1-cos^2(x))$
In altre parole, portando tutto a seno, ottengo solo le soluzioni buone, al contrario usando solo il coseno ottengo anche soluzioni non buone e quindi devo fare più controlli per verificare.
PS
"Zero87":
$2t^2+5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$
nella radice t non dovrebbe essere di primo grado?
$2t^2+5 \sqrt(1-t) -4 = 0$
"crisixk":
PS
[quote="Zero87"]$2t^2+5 \sqrt(1-t^2) -4 = 0$
nella radice t non dovrebbe essere di primo grado?
$2t^2+5 \sqrt(1-t) -4 = 0$
[/quote]Ieri ho pensato una cosa e ne ho fatta un'altra, ma ho corretto.
"Zero87":
Per come l'hai fatta tu, puoi porre
$ t=cos(x) $
non $t=cos^2(x)$, ma comunque non credo che cambi qualcosa. Nel caso $t=cos^2(x)$ i termini sono tutti di primo grado in $t$ mentre per $t=cos(x)$ sono tutti di secondo grado come avevo scritto.
Per il resto mi dici
"crisixk":
mi tocca anche controllare le soluzioni di x nell'eq. principale
e questo lo avevo già detto (pure sottolineato non a caso) nel mio post precedente
"Zero87":
Mi sa che conviene direttamente risolverla un po' a cuor leggero per poi controllare nell'equazione principale se le soluzioni trovate la soddisfano e scartare quelle che non vanno bene.
Ma solo perché mi sa che ti incasinavi con le condizioni di esistenza e altre cose (sennò andrebbe sempre fatto mano a mano).
Pito
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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