Equazione trigonometrica parametrica
"Determinare per quali valori di $C$ l'equazione $sin(C*x)=sqrt(2)/2$ ammette un'unica soluzione nell'intervallo $[-pi/2,pi/2]$.
Non so come risolverla..
Non so come risolverla..
Risposte
Il risultato e' $1/2 < C < 3/2$, ma andiamo per gradi. Cosa succede alla funzione $sin(C*x)$ al variare di $C$?
Allora, con $01$ il periodo diminuisce di un fattore $C$. Comunque viene modificato il periodo..
Bene.
Quando $C$ vale $1$, quindi, hai un solo punto (nel tuo intervallo) in cui la funzione vale $sqrt(2)/2$ ma diminuendo $C$ (sotto un certo valore) i punti aumentano. La prima cosa da fare e' trovare la $C$ per cui la funzione interseca due volte l'ascissa $sqrt(2)/2$ nel nostro intervallo.
Se ti poni nella condizione in cui in $pi/2$ la funzione vale $sqrt(2)/2$, puoi trovare il minimo valore di $C$ per il quale da un punto passi a due.
Dopo aver fatto questo, aumentando $C$, potrai trovare il suo valore massimo imponendo che in $pi/2$ la funzione deve valere $sqrt(2)/2$.
Fammi sapere come procede e, se non sono stato chiaro, ti prego di dirmelo. Ciao
EDIT : Mi correggo : per il punto massimo, tieni conto del fatto che il seno vale $sqrt(2)/2$ in due punti.
Quando $C$ vale $1$, quindi, hai un solo punto (nel tuo intervallo) in cui la funzione vale $sqrt(2)/2$ ma diminuendo $C$ (sotto un certo valore) i punti aumentano. La prima cosa da fare e' trovare la $C$ per cui la funzione interseca due volte l'ascissa $sqrt(2)/2$ nel nostro intervallo.
Se ti poni nella condizione in cui in $pi/2$ la funzione vale $sqrt(2)/2$, puoi trovare il minimo valore di $C$ per il quale da un punto passi a due.
Dopo aver fatto questo, aumentando $C$, potrai trovare il suo valore massimo imponendo che in $pi/2$ la funzione deve valere $sqrt(2)/2$.
Fammi sapere come procede e, se non sono stato chiaro, ti prego di dirmelo. Ciao
EDIT : Mi correggo : per il punto massimo, tieni conto del fatto che il seno vale $sqrt(2)/2$ in due punti.
Scusami, ho provato a farlo da sola, ma non ho capito alcune cose.
Parli della funzione $y=sen(x)$? Se così perché dovrei cercare dove l'ascissa $sqrt(2)/2$ interseca la funzione e non l'ordinata $sqrt(2)/2$?
"forisco":
La prima cosa da fare e' trovare la $C$ per cui la funzione interseca due volte l'ascissa $sqrt(2)/2$ nel nostro intervallo.
Parli della funzione $y=sen(x)$? Se così perché dovrei cercare dove l'ascissa $sqrt(2)/2$ interseca la funzione e non l'ordinata $sqrt(2)/2$?
Un po' in ritardo come risposta, non era urgente, vero ? 
Comunque, parlando della funzione $y = sin(x)$, io intendevo l'ascissa passante per l'ordinata $sqrt(2)/2$.
Dopo, poni $sin(C*pi/2)=sqrt(2)/2$ da cui $C*pi/2=arcsin(sqrt(2)/2)$ e quindi $C*pi/2=pi/4$. Da qui, ottieni $C=1/2$.
Quello e' il limite minore per il quale la funzione $sin(C*x)$ (nel nostro intervallo) vale $sqrt(2)/2$ per due volte.
Per il massimo il discorso e' simile. Dimmi se ti serve ancora una mano.
Comunque, parlando della funzione $y = sin(x)$, io intendevo l'ascissa passante per l'ordinata $sqrt(2)/2$.
Dopo, poni $sin(C*pi/2)=sqrt(2)/2$ da cui $C*pi/2=arcsin(sqrt(2)/2)$ e quindi $C*pi/2=pi/4$. Da qui, ottieni $C=1/2$.
Quello e' il limite minore per il quale la funzione $sin(C*x)$ (nel nostro intervallo) vale $sqrt(2)/2$ per due volte.
Per il massimo il discorso e' simile. Dimmi se ti serve ancora una mano.
No, non era urgente 
Sono stata via un po' di giorni e non ho avuto tempo di rispondere..
Sinceramente non ho capito perché fai $sin(C*pi/2)=sqrt2/2$, così mi sembra che si stia trovando il fattore per cui moltiplicare $pi/2$ per ottenere l'angolo che ha seno $sqrt(2)/2$. Cioè non riesco ad interpretare questo passaggio sul grafico..
Sono stata via un po' di giorni e non ho avuto tempo di rispondere..Sinceramente non ho capito perché fai $sin(C*pi/2)=sqrt2/2$, così mi sembra che si stia trovando il fattore per cui moltiplicare $pi/2$ per ottenere l'angolo che ha seno $sqrt(2)/2$. Cioè non riesco ad interpretare questo passaggio sul grafico..
Sono io che non riesco a spiegarmi bene senza mostrarti un grafico.
Comunque, disegna il rettangolo che ha come vertici (0,0), ($pi/2$,0), ($pi/2$,1), (0,1).
Disegna il ramo della funzione $sin(x)$ che va dal punto (0,0) al punto ($pi/2$,1).
Poi, disegna altri due rami, uno che va da (0,0) a ($pi/2$,$sqrt(2)/2$) e l'altro che, partendo da (0,0), ha un massimo in ($pi/3$,1) e poi scende nel punto ($pi/2$,$sqrt(2)/2$).
Il primo ramo e' quello del seno classico, quando il suo argomento e' solo $x$.
Il secondo e' il ramo del seno quando il suo argomento e' minore di $1$ (in questo caso specifico, $1/2$).
Il terzo e' il ramo del seno quando il suo argomento e' maggiore di $1$ (in questo caso specifico, $3/2$).
Nel secondo caso (secondo ramo), se diminuiamo l'argomento, la curva (nel punto $pi/2$) si abbassera' e perdera' il contatto con l'ascissa la cui ordinata e' $sqrt(2)/2$. Tale grafico si ottiene per $C=1/2$ e quindi cio' ci dice che non possiamo scendere al di sotto di tale limite.
Nel terzo caso (terzo ramo), vale l'opposto. In tal caso, $C=3/2$ e quindi non possiamo andare oltre tale limite.
Spero di essermi spiegato meglio. Ora scappo per un impegno ma ritornero' presto. Fammi sapere.
Comunque, disegna il rettangolo che ha come vertici (0,0), ($pi/2$,0), ($pi/2$,1), (0,1).
Disegna il ramo della funzione $sin(x)$ che va dal punto (0,0) al punto ($pi/2$,1).
Poi, disegna altri due rami, uno che va da (0,0) a ($pi/2$,$sqrt(2)/2$) e l'altro che, partendo da (0,0), ha un massimo in ($pi/3$,1) e poi scende nel punto ($pi/2$,$sqrt(2)/2$).
Il primo ramo e' quello del seno classico, quando il suo argomento e' solo $x$.
Il secondo e' il ramo del seno quando il suo argomento e' minore di $1$ (in questo caso specifico, $1/2$).
Il terzo e' il ramo del seno quando il suo argomento e' maggiore di $1$ (in questo caso specifico, $3/2$).
Nel secondo caso (secondo ramo), se diminuiamo l'argomento, la curva (nel punto $pi/2$) si abbassera' e perdera' il contatto con l'ascissa la cui ordinata e' $sqrt(2)/2$. Tale grafico si ottiene per $C=1/2$ e quindi cio' ci dice che non possiamo scendere al di sotto di tale limite.
Nel terzo caso (terzo ramo), vale l'opposto. In tal caso, $C=3/2$ e quindi non possiamo andare oltre tale limite.
Spero di essermi spiegato meglio. Ora scappo per un impegno ma ritornero' presto. Fammi sapere.
Sì sì, ho capito!
Quindi l'intervallo di valori è $[1/2;3/2]$.
Ora, rileggendo l'esercizio l'intervallo che devo considerare è $[-pi/2;pi/2]$, perciò devo considerare anche il rettangolo $(0,0)$ $(-pi/2,0)$ $(-pi/2,1)$ $(0,1)$. Quindi usando lo stesso ragionamento, l'intervallo per questa parte dovrebbe essere $[-3/2;-1/2]$, essendo $sin(-x)=-sin(x)$ e quindi avendo, nel caso in cui moltiplico la x per un fattore negativo, la curva del seno ribaltata sulla parte positiva.. Giusto?
Quindi l'intervallo di valori è $[1/2;3/2]$.
Ora, rileggendo l'esercizio l'intervallo che devo considerare è $[-pi/2;pi/2]$, perciò devo considerare anche il rettangolo $(0,0)$ $(-pi/2,0)$ $(-pi/2,1)$ $(0,1)$. Quindi usando lo stesso ragionamento, l'intervallo per questa parte dovrebbe essere $[-3/2;-1/2]$, essendo $sin(-x)=-sin(x)$ e quindi avendo, nel caso in cui moltiplico la x per un fattore negativo, la curva del seno ribaltata sulla parte positiva.. Giusto?
Beh, nella traccia tu vuoi solo le soluzioni per $sin(C*x)=sqrt(2)/2$, mentre nel secondo rettangolo che tu hai definito non ci dovrebbe essere niente.
Beh, nel secondo rettangolo ci sono soluzioni se $C$, cioè il fattore per cui moltiplico la $x$ è negativo: in tal caso la funzione è come se diventasse $sin(-|C|x)=-sin(|C|x)$, cioè una curva che in $[-pi/2,0]$ si trova sopra l'asse x, e quindi può avere il valore $sqrt(2)/2$
Hai ragione
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