Equazione trigonometrica e possibile sostituzione
Ciao, amici!
Posto qua un'equazione di cui sono certo che c'è una soluzione, ma trovo qualche problema tecnico...
L'equazione (per $0<=x<=\pi/2 rad$) è
$cos^2x+(sinxcos^2x)/sqrt(sin^2x+C)-sin^2x-sinxsqrt(sin^2x+C) = 0$ dove C è una costante.
Penserei di poterla risolvere agevolmente con la sotituzione $y=cos^2x$ e quindi $1-y=sin^2x$, ma mi trovo davanti all'equazione
$2y+(ysqrt(1-y))/sqrt(1-y+C)-1-sqrt(1-y)(sqrt(1-y+C))=0$
che ho provato a razionalizzare in diversi modi, senza concludere nulla per trovarne la soluzione...
Che ne pensate: vi sembra azzeccata la sostituzione e, se sì, come potrei procedere per trovare y?
Ciao e grazie di cuore a tutti!!!
Davide
P.S.: Ho postato in questa sezione perché il problema che ho a risolvere l'equazione direi che è di tipo squisitamente matematico (mi scuso con i moderatori se ritenessero più opportuno considerare questo un post di interesse fisico), ma, per chi fosse interessato alla fisica e a conoscere il contesto in cui sono arrivato a quest'equazione, è quello del calcolo dell'angolo necessario ad avere la gittata massima data una certa altezza (positiva o negativa) del piano su cui un proiettile cade rispetto a quello da cui è partito: il mio testo dice che se il piano di atterraggio è più elevato di quello di partenza l'angolo che fornisce la massima gittata è superiore a 45° e quello che fornisce la massima gittata è inferiore a 45°, ma non dà spiegazioni del fatto, quindi ho cercato di dimostrarlo matematicamente a me stesso. Nell'equazione presentata qui sopra ho sostituito per comodità $-(2g\Deltay)/v_0^2$, dove $\Deltay$ è l'altezza del piano di arrivo, g l'accelerazione di gravità e $v_0$ il modulo della velocità iniziale del proiettile, con C. Dato che lo spostamento orizzontale, essendo $0<=\theta<=90°$ l'angolo con cui parte il proiettile rispetto al suolo, è $x(t)=x_0+(v_0cos\theta)t$ e lo spostamento verticale è $\Deltay=v_0sin\theta-1/2g t^2$ per cui $t=(v_0sin\theta±sqrt(v_0^2sin^2\theta-2g\Deltay))/g$ ho calcolato che la gittata R, tenendo presente il valore maggiore del tempo al momento della caduta dall'alto sul livello del piano di atterraggio, sia $\Deltax=(v_0cos\theta)(v_0sin\theta+sqrt(v_0^2sin^2\theta-2g\Deltay))/g$. Per trovare il massimo di $R$ ne ho calcolato la derivata rispetto a $\theta$, imponendone l'uguaglianza a zero:
$(\partialR(\theta,v_0,\Deltay))/(\partial\theta) = (v_0^2/g) (cos^2\theta+(sin\thetacos^2\theta)/sqrt(sin^2\theta-(2g\Deltay)/v_0^2)-sin^2\theta-sin\thetasqrt(sin^2\theta-(2g\Deltay)/v_0^2)) = 0$ da cui l'equazione che ho postato. Se, quando $R(\theta)$ ha un massimo, cioè quando $\theta$ (o x, nell'equazione che ho presentato all'inizio del post) soddisfa l'equazione che sto cercando di risolvere, $\Deltay>0 rArr \theta>45°$ e $\Deltay<0 rArr \theta<45°$ allora si dimostra quanto affermato dal mio libro, anzi, ho addirittura l'impressione che $\theta(\Deltay)$ sia una funzione strettamente monotona crescente, così, intuitivamente, pensando a come si muovono gli oggetti lanciati sotto l'effetto della gravità...
Posto qua un'equazione di cui sono certo che c'è una soluzione, ma trovo qualche problema tecnico...
L'equazione (per $0<=x<=\pi/2 rad$) è
$cos^2x+(sinxcos^2x)/sqrt(sin^2x+C)-sin^2x-sinxsqrt(sin^2x+C) = 0$ dove C è una costante.
Penserei di poterla risolvere agevolmente con la sotituzione $y=cos^2x$ e quindi $1-y=sin^2x$, ma mi trovo davanti all'equazione
$2y+(ysqrt(1-y))/sqrt(1-y+C)-1-sqrt(1-y)(sqrt(1-y+C))=0$
che ho provato a razionalizzare in diversi modi, senza concludere nulla per trovarne la soluzione...
Che ne pensate: vi sembra azzeccata la sostituzione e, se sì, come potrei procedere per trovare y?
Ciao e grazie di cuore a tutti!!!
Davide
P.S.: Ho postato in questa sezione perché il problema che ho a risolvere l'equazione direi che è di tipo squisitamente matematico (mi scuso con i moderatori se ritenessero più opportuno considerare questo un post di interesse fisico), ma, per chi fosse interessato alla fisica e a conoscere il contesto in cui sono arrivato a quest'equazione, è quello del calcolo dell'angolo necessario ad avere la gittata massima data una certa altezza (positiva o negativa) del piano su cui un proiettile cade rispetto a quello da cui è partito: il mio testo dice che se il piano di atterraggio è più elevato di quello di partenza l'angolo che fornisce la massima gittata è superiore a 45° e quello che fornisce la massima gittata è inferiore a 45°, ma non dà spiegazioni del fatto, quindi ho cercato di dimostrarlo matematicamente a me stesso. Nell'equazione presentata qui sopra ho sostituito per comodità $-(2g\Deltay)/v_0^2$, dove $\Deltay$ è l'altezza del piano di arrivo, g l'accelerazione di gravità e $v_0$ il modulo della velocità iniziale del proiettile, con C. Dato che lo spostamento orizzontale, essendo $0<=\theta<=90°$ l'angolo con cui parte il proiettile rispetto al suolo, è $x(t)=x_0+(v_0cos\theta)t$ e lo spostamento verticale è $\Deltay=v_0sin\theta-1/2g t^2$ per cui $t=(v_0sin\theta±sqrt(v_0^2sin^2\theta-2g\Deltay))/g$ ho calcolato che la gittata R, tenendo presente il valore maggiore del tempo al momento della caduta dall'alto sul livello del piano di atterraggio, sia $\Deltax=(v_0cos\theta)(v_0sin\theta+sqrt(v_0^2sin^2\theta-2g\Deltay))/g$. Per trovare il massimo di $R$ ne ho calcolato la derivata rispetto a $\theta$, imponendone l'uguaglianza a zero:
$(\partialR(\theta,v_0,\Deltay))/(\partial\theta) = (v_0^2/g) (cos^2\theta+(sin\thetacos^2\theta)/sqrt(sin^2\theta-(2g\Deltay)/v_0^2)-sin^2\theta-sin\thetasqrt(sin^2\theta-(2g\Deltay)/v_0^2)) = 0$ da cui l'equazione che ho postato. Se, quando $R(\theta)$ ha un massimo, cioè quando $\theta$ (o x, nell'equazione che ho presentato all'inizio del post) soddisfa l'equazione che sto cercando di risolvere, $\Deltay>0 rArr \theta>45°$ e $\Deltay<0 rArr \theta<45°$ allora si dimostra quanto affermato dal mio libro, anzi, ho addirittura l'impressione che $\theta(\Deltay)$ sia una funzione strettamente monotona crescente, così, intuitivamente, pensando a come si muovono gli oggetti lanciati sotto l'effetto della gravità...
Risposte
Non mi sembra un problema molto semplice da risolvere con l'approccio di studiare il segno della derivata.
Ho trovato questo articolo in cui se ne parla: http://cvgmt.sns.it/papers/graa/gittata.pdf
In pratica l'angolo ottimale è dato da: [tex]$\tan{\theta}=\sqrt{ \frac {1}{ 1+\frac {2gH} {v_0^2} }$[/tex]
dove $H$ è la distanza tra i due piani ($H>0$ se il piano di partenza è più in alto, $H<0$ altrimenti).
Ho trovato questo articolo in cui se ne parla: http://cvgmt.sns.it/papers/graa/gittata.pdf
In pratica l'angolo ottimale è dato da: [tex]$\tan{\theta}=\sqrt{ \frac {1}{ 1+\frac {2gH} {v_0^2} }$[/tex]
dove $H$ è la distanza tra i due piani ($H>0$ se il piano di partenza è più in alto, $H<0$ altrimenti).
Trascuro la parte fisica e considero solo quella matematica. Con la sostituzione $y=senx$ l'equazione diventa molto semplice e la soluzione è: se $C=0$ è un'identità; altrimenti si ottiene $y^2=1/(C+2)$, la cui soluzione positiva è senz'altro accettabile se $C>0$ (come mi pare di capire da un'occhiata al problema fisico; mi sembra che matematicamente le condizioni siano anche meno restrittive, ma non ho approfondito il problema).
Grazie, amici!
Interessante l'approccio geometrico!!! Però mi piacerebbe ormai anche riuscire a risolvere l'equazione cui sono arrivato...
Se C=0 (che significa che il proiettile cade sul piano da cui è stato lanciato), per $0<=x<=\pi/2$, $cosx=sinx hArr x=\pi/4 rad$, che vuol dire che l'angolo per avere la maggiore gittata è di 45°.
Sostituendo con y=sinx arrivo a $1-2y^2+(y-y^3)/sqrt(y^2+C) -ysqrt(y^2+C)=0$ ma lì mi blocco come con la sostituzione che avevo effettuato io...
Grazie di ogni consiglio!!!!!
Interessante l'approccio geometrico!!! Però mi piacerebbe ormai anche riuscire a risolvere l'equazione cui sono arrivato...
Se C=0 (che significa che il proiettile cade sul piano da cui è stato lanciato), per $0<=x<=\pi/2$, $cosx=sinx hArr x=\pi/4 rad$, che vuol dire che l'angolo per avere la maggiore gittata è di 45°.
Sostituendo con y=sinx arrivo a $1-2y^2+(y-y^3)/sqrt(y^2+C) -ysqrt(y^2+C)=0$ ma lì mi blocco come con la sostituzione che avevo effettuato io...
Grazie di ogni consiglio!!!!!
"DavideGenova":
... arrivo a $1-2y^2+(y-y^3)/sqrt(y^2+C) -ysqrt(y^2+C)=0$ ma lì mi blocco ...
Si continua con
$1-2y^2+(y-y^3-y^3-Cy)/sqrt(y^2+C)=0$
$(1-2y^2)sqrt(y^2+C)=2y^3+Cy-y$
Elevando a quadrato, scompaiono i termini di grado maggiore e si ottiene la formula che ho dato.
Grazie $+oo$ ancora!!! E, dato che la funzione arcsin è crescente, si dimostra che l'angolo necessario per la massima gittata aumenta all'aumentare dell'altezza del piano su cui cade il proiettile.
Ciao!!!
Ciao!!!
Veramente direi il contrario: [tex]C[/tex] è a denominatore, quindi al crescere di [tex]C[/tex] diminuisce [tex]y[/tex] e di conseguenza [tex]x[/tex].
Sì, però qua $C=-(2g\Deltay)/v_0^2$, e g>0.
Grazie ancora!
Grazie ancora!
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