Equazione Trigonometrica
Buongiorno!
Avrei una domanda da proporvi.
Data:
$2cos^2(x) = sin(2x) ; 0 <= x <= \pi$
Ho svolto:
$2cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)$
$(2cos^2(x))/(2cos(x)) = (2sin(x)cos(x))/(2cos(x))$
$sin(x) = cos(x)$
Che da come unica soluzione, per l'intervallo specificato: $x = \pi/4 = 1/\sqrt(2)$
Essendoci tuttavia un termine quadrato: $cos^2(x)$ mi è venuto in mente che potesse esserci una seconda soluzione. Tuttavia, l'unico modo che ho avuto per trovarla è stato approssimando il disegno della funzione. Nello specifico, trovato i punti di intersezione con l'asse X:
$cos^2(\pi/2) = 0, sin(2(\pi/2)) = 0$
Se tuttavia il punto in comune non avesse avuto valore y uguale a zero, avrei avuto più difficoltà a trovare il punto. Esiste un metodo algebrico per risolvere l'equazione trovando tutte le soluzioni? In generale, come faccio a sapere quante soluzioni ha una data equazione?
Avrei una domanda da proporvi.
Data:
$2cos^2(x) = sin(2x) ; 0 <= x <= \pi$
Ho svolto:
$2cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)$
$(2cos^2(x))/(2cos(x)) = (2sin(x)cos(x))/(2cos(x))$
$sin(x) = cos(x)$
Che da come unica soluzione, per l'intervallo specificato: $x = \pi/4 = 1/\sqrt(2)$
Essendoci tuttavia un termine quadrato: $cos^2(x)$ mi è venuto in mente che potesse esserci una seconda soluzione. Tuttavia, l'unico modo che ho avuto per trovarla è stato approssimando il disegno della funzione. Nello specifico, trovato i punti di intersezione con l'asse X:
$cos^2(\pi/2) = 0, sin(2(\pi/2)) = 0$
Se tuttavia il punto in comune non avesse avuto valore y uguale a zero, avrei avuto più difficoltà a trovare il punto. Esiste un metodo algebrico per risolvere l'equazione trovando tutte le soluzioni? In generale, come faccio a sapere quante soluzioni ha una data equazione?
Risposte
Temo che l'errore nasca quando tu dividi da entrambe le parti per $cos(x)$
in quel caso non hai posto le condizioni di esistenza ovvero [tex]cos(x)\neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}[/tex]
che ti esclude proprio la seconda soluzione che hai trovato
in quel caso non hai posto le condizioni di esistenza ovvero [tex]cos(x)\neq 0 \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2}[/tex]
che ti esclude proprio la seconda soluzione che hai trovato
Ciao Summerwind78,
Temo di non capire il tuo punto... $\pi/2$ è effettivamente una soluzione di $2cos^2(x) = sin(2x)$, forse intendevi dire che dividere per $cos(x)$ esclude la possibilità che io trovi la soluzione, senza però escludere la soluzione stessa? In quel caso, come dovrei procedere per trovare sia $\pi/4$ che $\pi/2$?
Temo di non capire il tuo punto... $\pi/2$ è effettivamente una soluzione di $2cos^2(x) = sin(2x)$, forse intendevi dire che dividere per $cos(x)$ esclude la possibilità che io trovi la soluzione, senza però escludere la soluzione stessa? In quel caso, come dovrei procedere per trovare sia $\pi/4$ che $\pi/2$?
Da $2cos^2(x) = 2sin(x)cos(x)$ ...
Dividendo per $2$, portando tutto a primo membro e raccogliendo $cos(x)$:
$cos(x)*[cos(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0->x=pi/2$
e
$cos(x)-sin(x)=0->tg(x)=1->x=pi/4$
Dividendo per $2$, portando tutto a primo membro e raccogliendo $cos(x)$:
$cos(x)*[cos(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0->x=pi/2$
e
$cos(x)-sin(x)=0->tg(x)=1->x=pi/4$
Ciao Chiaraotta, grazie per la spiegazione! 
In questi casi basta quindi raggruppare il termine quadrato e risolvere per $cos(x) = 0$ e $cos(x)-sin(x)=0$, giusto? Se invece di $cos^2(x)$ avessi $cos^n(x)$ avrei $n$ soluzioni uguali?
In questi casi basta quindi raggruppare il termine quadrato e risolvere per $cos(x) = 0$ e $cos(x)-sin(x)=0$, giusto? Se invece di $cos^2(x)$ avessi $cos^n(x)$ avrei $n$ soluzioni uguali?
Se ci si riconduce ad avere che un prodotto è $=0$, allora è $=0$ uno dei fattori (legge di annullamento del prodotto).
Fosse stato
$2*cos^3(x)=2*cos(x)*sin(x)$, allora
$cos^3(x)=cos(x)*sin(x)$,
$cos^3(x)-cos(x)*sin(x)=0$,
$cos(x)*[cos^2(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0$
o
$cos^2(x)-sin(x)=0$.
Fosse stato
$2*cos^3(x)=2*cos(x)*sin(x)$, allora
$cos^3(x)=cos(x)*sin(x)$,
$cos^3(x)-cos(x)*sin(x)=0$,
$cos(x)*[cos^2(x)-sin(x)]=0$.
Da cui
$cos(x)=0$
o
$cos^2(x)-sin(x)=0$.
Grazie mille, spiegazione utilissima 
Auguratemi buona fortuna per la verifica di domani!
Auguratemi buona fortuna per la verifica di domani!
A uno che ha una verifica non augurerei mai buona fortuna, che porta male, se mai un "in bocca al lupo" di cuore! 
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