Equazione trigonometrica

[micdec]

Risolvendo l'equazione:
sqrt(2)*sin(x/2)+2*cos(x)=1
...
ottengo 2 sol: cos(x)=0 e cos(x)=3/4.
Sostituendo nell'eq. si ha:
per cos(x)=0 -> x=pi-greca/2 ... sqrt(2)*sqrt(2)/2+2*0=1 OK
per cos(x)=3/4 non è verificata.
Qualcuno sa dirmi perché?

Grazie Michele



Modificato da - micdec il 05/03/2004 10:53:04

[fireball1]

Ciao Michele.
sqrt(2)*sin(x/2)+2*cos(x)=1
Per questa equazione, è più conveniente utilizzare le formule di duplicazione,
tenendo conto che è x = 2•(x/2). Sapendo che è cos x = cos²(x/2) - sin²(x/2), si ha:
sqrt(2)*sin(x/2)+2•cos²(x/2)-2•sin²(x/2)=1
Tenendo conto che è sin²(x/2)+cos²(x/2)=1, l'equazione diventa:
sqrt(2)*sin(x/2)+2•cos²(x/2)-2•sin²(x/2)=sin²(x/2)+cos²(x/2)
Ordinando si ha:
cos²(x/2)+sqrt(2)•sin(x/2)-3•sin²(x/2)=0
Conviene ora trasformare tutto in seno [sapendo che è cos²(x/2)=1-sin²(x/2)]:
1-sin²(x/2)+sqrt(2)•sin(x/2)-3•sin²(x/2)=0
-4sin²(x/2)+sqrt(2)•sin(x/2)+1=0
4sin²(x/2)-sqrt(2)•sin(x/2)-1=0
sin(x/2)=[sqrt(2)sqrt(18)]/8
Abbiamo due soluzioni:
sin(x/2)=[sqrt(2)+3•sqrt(2)]/8=sqrt(2)/2
sin(x/2)=[sqrt(2)-3•sqrt(2)]/8=-sqrt(2)/4
Perciò avremo x/2 = /4 + 2k e x/2 = 3/4 + 2k
e finalmente x = /2 + 4k e x = 3/2 + 4k
Poi x/2 = arcsin(-sqrt(2)/4) + 2k e allora x = 2•arcsin(-sqrt(2)/4) + 4k

Spero di non aver fatto errori.



Modificato da - fireball il 05/03/2004 11:14:49

[vecchio1]

secondo me ti 6 scordato una soluzione...ci sono 2 angoli il cui seno è -sqrt(2)/4...


ti manca

x=2[-+arcsin(-(2)/4)]+4k


ora dovremmo esserci...

ciao
il vecchio



Modificato da - vecchio il 05/03/2004 15:42:31

Modificato da - vecchio il 05/03/2004 15:43:30

[micdec]

Credo anch'io.
Grazie per il vostro valido aiuto.
A presto Michele