Equazione trigonometrica
Salve a tutti,
Sono nuovo del Forum - ho letto le regole, scusatemi tuttavia se sbaglio qualcosa...
Risolvendo un problema che ha sollevato il mio interesse, mi sono imbattuto nella seguente equazione trigonometrica:
$ tg (alpha)- 4 sin (alpha) +1 = 0 $
Ho provato a svolgerla in vari modi ma non ci salto fuori...riuscireste ad aiutarmi ?
Grazie mille !
Sono nuovo del Forum - ho letto le regole, scusatemi tuttavia se sbaglio qualcosa...
Risolvendo un problema che ha sollevato il mio interesse, mi sono imbattuto nella seguente equazione trigonometrica:
$ tg (alpha)- 4 sin (alpha) +1 = 0 $
Ho provato a svolgerla in vari modi ma non ci salto fuori...riuscireste ad aiutarmi ?
Grazie mille !
Risposte
Hai provato con le formule “parametriche” in $tan (alpha/2)$?
Intanto, grazie per la risposta !
Sì, ho provato ad utilizzare le formule parametriche ma arrivo ad un'equazione di terzo grado non risolvibile (?)
Nell'ordine, ho:
1) scomposto la tangente in seno/coseno;
2) Fatto mcm e semplificato il coseno a denominatore
Arrivato dunque a:
$sin(alpha) - 4sin(alpha)cos(alpha) + cos(alpha) = 0$
Ho sostituito con le parametriche e...non ci salto più fuori
Potreste per cortesia illustrarmi i passaggi corretti per la risoluzione ? Sono sicuro che sto sbagliando...
Grazie
Sì, ho provato ad utilizzare le formule parametriche ma arrivo ad un'equazione di terzo grado non risolvibile (?)
Nell'ordine, ho:
1) scomposto la tangente in seno/coseno;
2) Fatto mcm e semplificato il coseno a denominatore
Arrivato dunque a:
$sin(alpha) - 4sin(alpha)cos(alpha) + cos(alpha) = 0$
Ho sostituito con le parametriche e...non ci salto più fuori
Potreste per cortesia illustrarmi i passaggi corretti per la risoluzione ? Sono sicuro che sto sbagliando...
Grazie
Probabilmente c'è qualche errore di battitura nel testo.
Le soluzioni sono delle cose schifosissime.
Le soluzioni sono delle cose schifosissime.
Buongiorno !
Allora, grazie ad entrambi per le vostre risposte.
Ho riflettuto in particolare sul consiglio di melia e mi sembra di essere giunto ad una soluzione, che vi riporto.
Dunque partendo da:
$ tan(alpha)−4sin(alpha)+1=0 $
Applico le trasformazioni parametriche in $ tan(alpha/2) $ , applicando la formula $ tan(2alpha)=(2tan(alpha))/(1-tan^2(alpha)) $ che in questo caso diventa $ tan(alpha)=(2tan(alpha/2))/(1-tan^2(alpha/2)) $
Sostituisco, e procedo applicando le formule parametriche in $ alpha/2 $ e il tutto diventa:
$ (2 tan(alpha/2))/(1-tan^(alpha/2)) - 4 (2tan(alpha/2))/(1+tan^2(alpha/2)) +1 = 0 $
Ora sostituisco $ tan(alpha/2) = t $ ed il tutto ora è:
$ (2t)/(1-t^2) - (8t)/(1+t^2) +1 =0 $
(scusate se non metto le C.E. - lo so, sono fondamentali, ma per rapidità le intendo sottintese a mente - se commetto un errore comunque mazziatemi pure !
)
Alla fine dei calcoli, arrivo ad ottenere:
$ 2t((t^2-3)/(1+t^2))=0 $
Il denominatore è sempre >0.
Le soluzioni sono o $ t=0 $, che non è accettabile, oppure $ t= +- sqrt(3) $
Ora - e scusatemi se sbaglio qualcosa, le Analisi Matematiche le ho date oramai più di 10 anni fa - io ho questi valori per $ tan(alpha/2) = t $, vado quindi nella formula principale, $ tan(alpha)=(2tan(alpha/2))/(1-tan^2(alpha/2)) $ e sostituisco $ tan(alpha/2)= +- sqrt(3) $ , giusto ?? Il che mi dà due casi:
1) $ (2sqrt(3) )/(-2) = -sqrt(3) $
2) $ (2sqrt(3) )/(2) = sqrt(3) $
La soluzione negativa non la posso accettare perchè non è accettabile dal punto di vista fisico del problema, ottengo quindi quel $ sqrt(3) $ il cui arcotangente è circa $ (pi)/3 $.
Il metodo di risoluzione per sostituzioni che ho applicato, vi risulta dunque corretto ?
Grazie
Allora, grazie ad entrambi per le vostre risposte.
Ho riflettuto in particolare sul consiglio di melia e mi sembra di essere giunto ad una soluzione, che vi riporto.
Dunque partendo da:
$ tan(alpha)−4sin(alpha)+1=0 $
Applico le trasformazioni parametriche in $ tan(alpha/2) $ , applicando la formula $ tan(2alpha)=(2tan(alpha))/(1-tan^2(alpha)) $ che in questo caso diventa $ tan(alpha)=(2tan(alpha/2))/(1-tan^2(alpha/2)) $
Sostituisco, e procedo applicando le formule parametriche in $ alpha/2 $ e il tutto diventa:
$ (2 tan(alpha/2))/(1-tan^(alpha/2)) - 4 (2tan(alpha/2))/(1+tan^2(alpha/2)) +1 = 0 $
Ora sostituisco $ tan(alpha/2) = t $ ed il tutto ora è:
$ (2t)/(1-t^2) - (8t)/(1+t^2) +1 =0 $
(scusate se non metto le C.E. - lo so, sono fondamentali, ma per rapidità le intendo sottintese a mente - se commetto un errore comunque mazziatemi pure !
)Alla fine dei calcoli, arrivo ad ottenere:
$ 2t((t^2-3)/(1+t^2))=0 $
Il denominatore è sempre >0.
Le soluzioni sono o $ t=0 $, che non è accettabile, oppure $ t= +- sqrt(3) $
Ora - e scusatemi se sbaglio qualcosa, le Analisi Matematiche le ho date oramai più di 10 anni fa - io ho questi valori per $ tan(alpha/2) = t $, vado quindi nella formula principale, $ tan(alpha)=(2tan(alpha/2))/(1-tan^2(alpha/2)) $ e sostituisco $ tan(alpha/2)= +- sqrt(3) $ , giusto ?? Il che mi dà due casi:
1) $ (2sqrt(3) )/(-2) = -sqrt(3) $
2) $ (2sqrt(3) )/(2) = sqrt(3) $
La soluzione negativa non la posso accettare perchè non è accettabile dal punto di vista fisico del problema, ottengo quindi quel $ sqrt(3) $ il cui arcotangente è circa $ (pi)/3 $.
Il metodo di risoluzione per sostituzioni che ho applicato, vi risulta dunque corretto ?
Grazie
L'idea era appunto quella, ma mi pare che tu abbia fatto degli errori nel risolvere
$ (2t)/(1-t^2) - (8t)/(1+t^2) +1 =0 $
a me viene $t^4-10t^3+6t-1=0$ che ha 4 soluzioni di cui 3 positive, ma che non è possibile risolverla algebricamente e vengono risultati "strani". Io l'ho risolta graficamente con geogebra.
$ (2t)/(1-t^2) - (8t)/(1+t^2) +1 =0 $
a me viene $t^4-10t^3+6t-1=0$ che ha 4 soluzioni di cui 3 positive, ma che non è possibile risolverla algebricamente e vengono risultati "strani". Io l'ho risolta graficamente con geogebra.
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