Equazione trigonometrica

[Kante1]

Qualcuno può aiutarmi a risolvere la seguente equazione trigonometrica?
4sin(x)cos(x)+12tan(x)=5√3

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Ti do la traccia: esprimi $tgx$ come $(senx)/(cosx)$, moltiplica entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori e poi trasforma tutto in funzione di $senx$.
Dovrebbe funzionare.

Saluti.

[Kante1]

OK, non riesco a procedere però, io ottengo:
[tex]4\sin (x) - 4\sin^3(x)+12\sin (x) - 5\sqrt{3}\sqrt{1-\sin^2(x)}=0[/tex]
MI sembra un po complessa per andare avanti da questa strada...

[mazzarri1]

Oppure potresti solo cambiare il primo membro esprimendo sia il seno che il coseno in funzione della tangente
Viene comunque una equazione di 3 grado

O in alternativa usare le parametriche?

[orsoulx]

Le soluzioni dovrebbero essere:

\( x=\frac \pi 6 +k\pi,k\epsilon Z \)

Nutro molti dubbi sull'utilità di un esercizio di questo tipo in una scuola secondaria.
Ciao

[Sk_Anonymous]

"alessandro8":Ciao.

Ti do la traccia: esprimi $tgx$ come $(senx)/(cosx)$, moltiplica entrambi i membri per il minimo comune multiplo dei denominatori e poi trasforma tutto in funzione di $senx$.
Dovrebbe funzionare.

Saluti.

"Kante":OK, non riesco a procedere però, io ottengo:
\( 4\sin (x) - 4\sin^3(x)+12\sin (x) - 5\sqrt{3}\sqrt{1-\sin^2(x)}=0 \)
MI sembra un po complessa per andare avanti da questa strada...

Hai ragione, scusami.
Non avevo tenuto conto di un termine.

Provo a pensarci un po' e, in caso, ti faccio sapere.

Saluti.

[Kante1]

"orsoulx":Le soluzioni dovrebbero essere:

\( x=\frac \pi 6 +k\pi,k\epsilon Z \)

Nutro molti dubbi sull'utilità di un esercizio di questo tipo in una scuola secondaria.
Ciao

La risposta la sapevo già pure io, a me interessava il procedimento, non riesco ad arrivare a tale soluzione

[orsoulx]

"Kante":La risposta la sapevo già pure io, a me interessava il procedimento, non riesco ad arrivare a tale soluzione

Ti posso solo indicare come ho ragionato (con l'orticaria).
La forma più semplice per l'equazione, a mio avviso, è:
\( 2sin(2x)+12tan(x)=5\sqrt3 \) , da cui, a naso (la presenza della radice di 3 è un indizio), ho visto che 30° è una soluzione.
Esprimendo sin(2x) in funzione di tan(x) si ottiene un'equazione di terzo grado, non credo esistano 'trucchi' per evitarla.
Utilizzando il metodo di Ruffini, con la soluzione trovata, puoi provare che l'equazione di secondo grado restante non ha soluzioni reali.
Osservando che le funzioni sin(2x) e tan(x) hanno periodicità \( \pi \) , si possono allora scrivere tutte le soluzioni.
A me, come già detto, procura l'orticaria. Vedi tu!
Ciao

[mazzarri1]

Ho provato a risolverla con le parametriche che di solito rappresentano una sorta di ultima spiaggia... buco nell'acqua... viene alla fine

$32(t+t^3+t^5)-5sqrt(3)(1-t^2-t^4-t^6)=0$

che non è molto risolvibile con metodi classici

quel $sqrt(3)$ fa pensare anche a me di metterlo come $tan(pi/3)$ ma non vedo aprirsi comunque strade interessanti

Ho fatto il grafico della funzione

$y=4sinxcosx+12tanx-5sqrt(3)$ ed effettivamente confermo che esiste una sola soluzione, $x=pi/6$ con periodicità $pi$ ma come arrivarci... forse per via grafica studiando la funzione e trovandone gli zeri con metodi di approssimazione

[quantunquemente]

$sinxcosx=(tgx)/(1+tg^2x)$
comunque viene un'equazione di $3°$ grado

chi ha inventato questo esercizio è un deficiente

[Kante1]

"quantunquemente":$sinxcosx=(tgx)/(1+tg^2x)$
comunque viene un'equazione di $3°$ grado

chi ha inventato questo esercizio è un deficiente

Interessante sostituzione, nonostante l'equazione di terzo grado non risolvibile facilmente a meno che non osservi a priori che la soluzione è 30° e si sfrutta Ruffini. Grazie a tutti se trovate altri modi magari non sarebbe male