Equazione trigonometrica

[Sk_Anonymous]

Salve, ho l'equazione $cos theta=sqrt3 sin theta$. Quest'equazione equivale a $(cos theta)/(cos theta)=sqrt3 (sin theta)/(cos theta)$ unione $cos theta=0$, cioè a $sqrt3 tan theta=1$ unione $cos theta=0$. E' corretto?
Grazie!

[Sk_Anonymous]

Mi sembra più una cosa da secondaria (sono finito qui per sbaglio ).
Comunque, non sono d'accordo sull'unione. Quando fai la divisione per $costheta$ è giusto escludere i valori che lo annullano, però questi devi controllare a posteriori se sono soluzione dell'equazione, non aggiungerceli e basta!

[math78]

Se mi ricordo, una equazione lineare omogenea non ha mai per soluzione \(\displaystyle $\cos(x) = 0$ \). Infatti se per assurdo \(\displaystyle $\cos (x) = 0$ \), allora anche \(\displaystyle $\sin(x)=0$ \). Quindi \(\displaystyle $x$ \) dovrebbe contemporaneamente avere seno e coseno nullo, il che è impossibile. Quindi \(\displaystyle $\cos (x) \not = 0$ \)

Quindi, dopo aver fatto questa considerazione, puoi tranquillamente dividere per \(\displaystyle $\cos (\theta)$ \) e ottenere la prima equazione che hai scritto, ossia \(\displaystyle \tan(\theta) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

Poi magari ricordo male XDXD

[redlex91-votailprof]

$\cos\vartheta=\sqrt(3)\sin\vartheta \iff \cos\vartheta-\sqrt3\sin\vartheta=0$

mi ricorda molto le formule di addizione... ad esempio:

$\cos(\alpha+\vartheta)=\cos\alpha\cos\vartheta-\sin\alpha\sin\vartheta$

posto $\alpha=\pi/3=60°$:

$1/2\cos\vartheta-\sqrt3/2\sin\vartheta=0$

quindi la tua equazione equivale a risolvere:

$2\cos(\pi/3+\vartheta)=0 \iff \pi/3+\vartheta=\pm\pi/2+2k\pi,\quad\k\in\mathbb{Z} \iff \vartheta=\pi/6+2k\pi,\vartheta=-\frac{5}{6}\pi+2k\pi$

In definitiva:

$\vartheta=k\pi-\frac{5}{6}\pi,\quad k\in\mathbb{Z}$