Equazione trigonometrica

[paperino001]

Salve, ho questo esercizio $ tg(3x) - tg(x) = sen(2x)*sec(x)$ applicando le formule di Werner sono arrivato a $2 sen(2x) = sen(5x) - sen(x)$ ma non so come continuare...

[giammaria2]

Puoi continuare usando la prostaferesi a secondo membro, ma non dimenticare la discussione. Tralasciandola, io avrei preferito fare così:

$(sin3x)/(cos3x)-(sinx)/(cosx)=(sin2x)/(cosx)$

Do denominatore comune: $sin3xcosx-cos3xsinx=sin2xcos3x$

Riconosco la formula di sottrazione: $sin(3x-x)=sin2xcos3x$

Porto tutto a primo membro: $sin2x(1-cos3x)=0$ eccetera.

[paperino001]

devo porre $sen(x) \ne 0$ ?

[Gi81]

No, e perchè mai? Devi invece porre $cos(x)!=0$ e $cos(3x)!=0$ (sono le condizioni di esistenza)

[paperino001]

$sen(x) = 2 tg(x)$
$sen(x) = 2 * (sen(x))/(cos(x))$
$cos(x) = 2 $

perchè viene sbagliata ?

[Gi81]

E' una nuova equazione?

[paperino001]

si

[Gi81]

Hai commesso un errore: hai diviso entrambi i membri per $sin(x)$, ma così facendo perdi delle soluzioni.

Ti faccio un esempio più semplice: $x= 2x$.
Seguo il tuo ragionamento: divido tutto per $x$, ottenendo $1=2$. Dunque non ci sono soluzioni
Ma questo è chiaramente falso, perchè $x=0$ è soluzione.

Quindi, quando dividi per qualcosa, devi assicurarti prima se quel qualcosa eguagliato a $0$ ti dia delle soluzioni.