Equazione retta e punti
ciao a tutti , ho il seguente esercizio che non riesco a risolvere:
"Determina in R tutte le soluzioni della seguente equazione 2x−y+1 = 0"
In pratica devo trovare le formule generiche dei punti che appartengono a questa retta, ma non riesco a risolverlo.
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e disponibilità
"Determina in R tutte le soluzioni della seguente equazione 2x−y+1 = 0"
In pratica devo trovare le formule generiche dei punti che appartengono a questa retta, ma non riesco a risolverlo.
Vi ringrazio in anticipo per la pazienza e disponibilità
Risposte
Devi scrivere l'equazione nella forma $yt=mx+q$? La devi disegnare sul piano?
No in pratica devo trovare tutti i punti che appartengo alla retta.
La soluzione è: (t , 2t + 1)
La soluzione è: (t , 2t + 1)
La soluzione ti chiarisce le idee?
Non riesco a capire come arrivare a quella soluzione
in sostanza ti dice che i due valori che rendono vera l'equazioni sono tali che se $x=t$ allora l'altro sarà $y=2t+1$
infatti se l'equazione $2x-y+1=0$ la manipoli un po' diventa $y=2x+1$, assegnato il a $x$ il valore $t$, $y$ avrà il valore $2t+1$. Almeno così la vedo io.
infatti se l'equazione $2x-y+1=0$ la manipoli un po' diventa $y=2x+1$, assegnato il a $x$ il valore $t$, $y$ avrà il valore $2t+1$. Almeno così la vedo io.
guarda a parte questo il libro dice che le soluzioni dell'equazione di una retta sono infinite,cosa vuol dire nello specifico?
Significa che puoi trovare infiniti punti che soddisfano l'equazione. Detto in parole povere, puoi trovare infiniti punti $P(x;y)$ che sostituiti al posto della $x$ e della $y$ nell'equazione della retta danno un'identità.
Scusami burm87 non riesco a capire una cosa:
da quello che so io(poco) le soluzioni dell'equazione di una retta sono tutti i punti che appartengono ad essa e che di conseguenza soddisfano l'equazione.
Se questa considerazione è giusta dire che quell'equazione ha infinite soluzioni significa che tutti i punti del piano sono soluzione ad essa, com'è possibile?
da quello che so io(poco) le soluzioni dell'equazione di una retta sono tutti i punti che appartengono ad essa e che di conseguenza soddisfano l'equazione.
Se questa considerazione è giusta dire che quell'equazione ha infinite soluzioni significa che tutti i punti del piano sono soluzione ad essa, com'è possibile?
La tua prima definizione è corretta, la seconda no, in quanti non tutti i punti del piano sono soluzione di una retta.
Esempio, prendiamo $y=x+1$.
I punti $A(1;2)$, $B(2;3)$, $C(3;4)$ sono tutti soluzione dell'equazione della retta e come loro ne puoi trovare infiniti altri, tutti quelli del tipo $P(x;x+1)$. Ciò non significa però che tutti i punti del piano vadano bene e puoi facilmente verificarlo tu stesso.
Esempio, prendiamo $y=x+1$.
I punti $A(1;2)$, $B(2;3)$, $C(3;4)$ sono tutti soluzione dell'equazione della retta e come loro ne puoi trovare infiniti altri, tutti quelli del tipo $P(x;x+1)$. Ciò non significa però che tutti i punti del piano vadano bene e puoi facilmente verificarlo tu stesso.
Un insieme infinito, come i punti del piano, può avere come sottoinsieme proprio un altro insieme infinito come i punti della retta giacente sul piano. Così come i numeri pari sono infiniti e sono un sottoinsieme dei numeri naturali.
a quindi se ho capito bene le soluzioni sono sempre infinite ma non fra tutti i punti del piano ma fra tutti i punti che appartengono alla retta.E' così?
Esatto
e questo vale per tutte le equazioni in due variabili? quindi anche quelle della circonferenza,ellisse ecc?
Intuitivamente mi viene da risponderti di si, ma per questo meglio far intervenire qualcuno in verde 
Se consideriamo anche ordini di grandezza decimali ogni equazione in due incognite ha soluzioni infinite. Questo è dimostrabile mettendo un'incognita in relazione ad un'altra, allora puoi sempre sostituire dei valori dell'incognita e trovarne altri.
Per farti capire considera l'equazione della circonferenza generica (una qualsiasi circonferenza)
$x^2+y^2=r^2$
A questo punto esplicita la $y$
\(\displaystyle y=\pm \sqrt{r^2-x^2}\)
Puoi sostituire delle $x$ nell'equazione e ottenere sempre due $y$ diverse, nonostante le $x$ debbano trovarsi nell'intervallo del dominio queste sono infinite perché i valori che si trovano dentro al dominio possono anche essere frazionari.
Io te l'ho mostrato in un modo molto poco formale, qualcuno più bravo può spiegarti meglio.
Per farti capire considera l'equazione della circonferenza generica (una qualsiasi circonferenza)
$x^2+y^2=r^2$
A questo punto esplicita la $y$
\(\displaystyle y=\pm \sqrt{r^2-x^2}\)
Puoi sostituire delle $x$ nell'equazione e ottenere sempre due $y$ diverse, nonostante le $x$ debbano trovarsi nell'intervallo del dominio queste sono infinite perché i valori che si trovano dentro al dominio possono anche essere frazionari.
Io te l'ho mostrato in un modo molto poco formale, qualcuno più bravo può spiegarti meglio.
"matematicamenteparlando":
e questo vale per tutte le equazioni in due variabili? quindi anche quelle della circonferenza,ellisse ecc?
Vale per quasi tutte le equazioni in due variabili. Una possibile eccezione è
$(x-y+2)^2+(x+y)^2=0$
La somma di due quadrati può valere zero solo se entrambi si annullano, cioè solo se
${(x-y+2=0),(x+y=0):}=>{(x=-1),(y=1):}$
Sono però casi molto particolari; in linea di massima, un'equazione in due variabili ha infinite soluzioni.
Se si accettano anche i numeri complessi, credo che questa regola diventi assoluta, senza eccezioni.
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