Equazione reciproca di seconda specie di quarto grado
Prendiamo $3x^4-10x^3+10x-3=0$
Sul libro c'è scritto che questo tipo di equazioni ammette sempre come radici $x=+- 1$ e che quindi le altre soluzioni vanno ricercate nelle soluzioni dell'equazione di secondo grado . Adesso io ho pensato di usare ruffini e così ho diviso per -1 (la prima volta) .. è venuto $3x^3-13x^2+13x-3=0$
Poi,ho provato a ridividerlo per -1 ma il resto non era 0 così ho provato con 1 e tutto è tornato . Adesso mi chiedo : " è possibile generalizzare dicendo che per tutte le equazioni di questo tipo posso dividere la prima volta per $x=+-1$ e la seconda volta , sempre per $x=+-1$ ? mi basta uno dei due così ottengo un'equazione di secondo grado !
In particolare ,credo che se la prima volta posso dividere per 1,per la seconda posso utilizzare solo -1 e viceversa (giusto ? ) .
Se non è così non potrei abbandonare l'argomento perchè non ho capito come fa il libro..lui ,anche se mi ha dato quest'informazione , svolge gli esercizi diversamente . In questo caso arriva a raccogliere tutto in
$3(x^2-1)(x^2+1)-10x(x^2-1)=0$ <-- fin qui ci sono
Poi,va avanti con questo passaggio :
$(x^2-1)(3x^2-10x+3)=0$ <-- non ho capito che ha fatto!
1)Quella questione del $x=+-1$ è esatta (posso sempre dividere per +1 o -1 e in seguito dividere o per +1 o per -1 in base a cosa ho utilizzato prima) ?
2)Mi spieghereste come procede il libro ? Thanks
Sul libro c'è scritto che questo tipo di equazioni ammette sempre come radici $x=+- 1$ e che quindi le altre soluzioni vanno ricercate nelle soluzioni dell'equazione di secondo grado . Adesso io ho pensato di usare ruffini e così ho diviso per -1 (la prima volta) .. è venuto $3x^3-13x^2+13x-3=0$
Poi,ho provato a ridividerlo per -1 ma il resto non era 0 così ho provato con 1 e tutto è tornato . Adesso mi chiedo : " è possibile generalizzare dicendo che per tutte le equazioni di questo tipo posso dividere la prima volta per $x=+-1$ e la seconda volta , sempre per $x=+-1$ ? mi basta uno dei due così ottengo un'equazione di secondo grado !
In particolare ,credo che se la prima volta posso dividere per 1,per la seconda posso utilizzare solo -1 e viceversa (giusto ? ) .
Se non è così non potrei abbandonare l'argomento perchè non ho capito come fa il libro..lui ,anche se mi ha dato quest'informazione , svolge gli esercizi diversamente . In questo caso arriva a raccogliere tutto in
$3(x^2-1)(x^2+1)-10x(x^2-1)=0$ <-- fin qui ci sono
Poi,va avanti con questo passaggio :
$(x^2-1)(3x^2-10x+3)=0$ <-- non ho capito che ha fatto!
1)Quella questione del $x=+-1$ è esatta (posso sempre dividere per +1 o -1 e in seguito dividere o per +1 o per -1 in base a cosa ho utilizzato prima) ?
2)Mi spieghereste come procede il libro ? Thanks
Risposte
Il libro ha fatto un raccoglimento a fattor comune raccogliendo $x^2-1$. Se lo metti in evidenza, dal primo termine hai bisogno di un $3(x^2+1)$ e dal secondo termine di $-10x$.
Una volta svolta la moltiplicazione ti troverai con il $3x^2-10x+3$ del secondo fattore del prodotto.
Una volta svolta la moltiplicazione ti troverai con il $3x^2-10x+3$ del secondo fattore del prodotto.
"Umbreon93":
Adesso mi chiedo : " è possibile generalizzare dicendo che per tutte le equazioni di questo tipo posso dividere la prima volta per $x=+-1$ e la seconda volta , sempre per $x=+-1$ ? mi basta uno dei due così ottengo un'equazione di secondo grado !
EDIT.
Motivo della modifica (
): spiegato infinitamente meglio da giammaria!
Piuttosto mal detto, ma il concetto è giusto: polinomi di questo tipo sono sempre divisibili sia per $(x+1)$ che per $(x-1)$ e puoi fare le due divisioni nell'ordine che preferisci. Bisogna farle entrambe perché facendone una sola si ottiene un'equazione di terzo grado.
E' argomento del biennio, di solito di seconda. La dimostrazione c'è sicuramente sul testo di Umbreon93 e comunque è facilissima: basta applicare il teorema di Ruffini.
E' argomento del biennio, di solito di seconda. La dimostrazione c'è sicuramente sul testo di Umbreon93 e comunque è facilissima: basta applicare il teorema di Ruffini.
Se ti può essere d'aiuto ricorda che se la somma dei coefficienti del polinomio è $=0$ allora il tuo divisore sarà $ (x+1)$ e dunque una delle soluzioni $x_1 = -1$ .
Se invece la somma dei coefficienti di grado pari è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari il divisore sarà $(x-1)$ avendo dunque come radice $x_1 =1$. Saluti
Se invece la somma dei coefficienti di grado pari è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari il divisore sarà $(x-1)$ avendo dunque come radice $x_1 =1$. Saluti
"Sternocleidomastoideo":
Se ti può essere d'aiuto ricorda che se la somma dei coefficienti del polinomio è $=0$ allora il tuo divisore sarà $ (x+1)$ e dunque una delle soluzioni $x_1 = -1$ .
Non mi sembra che sia così ....
Piuttosto che, se la somma dei coefficienti del polinomio è $=0$, allora il polinomio è divisibile per $(x-1)$ e quindi c'è la radice $x_1=1$.
"Sternocleidomastoideo":
Se invece la somma dei coefficienti di grado pari è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari il divisore sarà $(x-1)$ avendo dunque come radice $x_1 =1$. Saluti
E neanche così ....
Piuttosto che, se la somma dei coefficienti di grado pari è uguale alla somma dei coefficienti di grado dispari, allora il polinomio è divisibile per $(x+1)$ e quindi c'è la radice $x_1=-1$.
Confermo quanto dice chiaraotta.
E confermo anch'io, aggiungendo una scorciatoia per fare contemporaneamente i due calcoli: somma i coefficienti di grado pari e, a parte, quelli di grado dispari:
- se ottieni due numeri uguali, è divisibile per $(x+1)$
- se ottieni due numeri uguali in valore assoluto ma con segno diverso, è divisibile per $(x-1)$
- se ottieni due zeri è divisibile per entrambi
- in tutti gli altri casi, non è divisibile né per $(x+1)$ né per $(x-1)$.
La dimostrazione sta in quello che ti è stato detto nei post precedenti.
- se ottieni due numeri uguali, è divisibile per $(x+1)$
- se ottieni due numeri uguali in valore assoluto ma con segno diverso, è divisibile per $(x-1)$
- se ottieni due zeri è divisibile per entrambi
- in tutti gli altri casi, non è divisibile né per $(x+1)$ né per $(x-1)$.
La dimostrazione sta in quello che ti è stato detto nei post precedenti.
Ringrazio tutti quanti , ho capito tutto 
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