Equazione reciproca

[Noctis Lucis Caelum]

[math]ax^3+(a^2+a+1)x^2+(a^2+a+1)x+a=0\\
ax^3+(a^2+a+1)(x^2+x)+a=0\\[/math]

credo che fin qui sia giusto no? se no potete aiutarmi?

[PrInCeSs Of MuSiC]

Se vuoi sapere se il calcolo è giusto, si.
E' giusto lo sviluppo dell'equazione postata.

[Noctis Lucis Caelum]

ma come continuo?

[adry105]

Allora rimani in quella iniziale.. è un'equazione polinomiale di terzo grado, quindi troverai 3 soluzioni =) Puoi risolverla con la regola di ruffini.. Il grado più alto ha come coefficiente a e il termine noto anche.. quindi le possibili soluzioni sono ±a,±1.. Se provi con -1 vedi che l'equazione viene 0=0 quindi -1 è soluzione dell'equazioni.. Poi con il metodo di ruffini trovi il quoziente e lo moltiplichi per x+1.. Se non capisci qualcosa chiedi, comunque se controlli il link che ho messo, li è spigato molto bene =) In caso chiedi!

[Noctis Lucis Caelum]

[math]ax^3+(a^2+a+1)x^2+(a^2+a+1)x+a=0\\[/math]

Scusami ma non devo scomporre? devo lasciarla così? e con quali numeri applico Ruffini?

[BIT5]

Non devi moltiplicare, altrimenti non avresti piu' un polinomio ordinato (in questo caso di 3zo grado)

L'insieme dei fattori del termine noto , dal momento che il polinomio non e' monico (ovvero ha come coefficiente del termine massimo un valore diverso da zero), e'

[math] f \{ \pm 1 , \pm a, \pm \frac{a}{1}, \pm \frac{a}{a} \}[/math]

ovvero

[math] f \{ \pm 1 , \pm a \} [/math]

Come puoi vedere, per x=-1 il polinomio si annulla

[math]\begin{array}{c|ccc|c}
& a & a^2+a+1 & a^2+a+1 & a\\
& & & & \\
& & & & \\
-1 & & -a & -a^2-1 & -a \\
\hline
& a & a^2+1 & a & 0
\end{array}[/math]

e dunque l'equazione sara'

[math] (x+1)(ax^2+(a^2+1)x+a)=0 [/math]

il trinomio di secondo grado si annulla per

[math] x_{1,2}= \frac{ -(a^2+1) \pm \sqrt{(a^2+1)^2-4a^2}}{2a} [/math]

[math] x_{1,2}= \frac{-(a^2+1) \pm \sqrt{a^4+2a^2+1-4a^2}}{2a} \\ \\ = \frac{ -(a^2+1) \pm \sqrt{(a^2-1)^2}}{2a} \\ \\ = \frac{ - (a^2+1) \pm |a^2-1|}{2a} [/math]

Il valore assoluto, in verita', e' inutile perche' davanti alla radice quadrata hai gia

[math] \pm [/math]

Infatti, se discuti le soluzioni in base al valore di a

[math] a \le -1 \ U a \ge 1 \\ x_{1,2}= \frac{-a^2-1 \pm a^2-1}{2a}[/math]

da cui

[math] x_1= \frac{-a^2-1+a^2-1}{2a}= - \frac{1}{a} \\ x_2= \frac{-a^2-1-a^2+1}{2a}= -a [/math]

[math] -1

[Noctis Lucis Caelum]

non avevo capito che

[math](a^2+a+1)[/math]

fosse il coefficiente della x
grazie potete chiudere :)