Equazione Parametrica

[luca1235]

Buonasera a tutti, non riesco a trovare la soluzione a questo esercizio:
per quale valore di a la seguente funzione risulta definita per x $in$ R:

$(1- sin(x))/(2x^2 - a)$

presupponendo che la funzione sia reale tranne che per denominatore uguale a zero
non riesco proprio a capire come risolverla poichè trattandola come
parametrica giungo ad un 8a$>$ 0 ma non so più che fare.
Grazie per la collaborazione

[retrocomputer]

Penso che tu sia arrivato alla conclusione:
- se $a>0$ il denominatore si annulla in due punti;
- se $a=0$ il denominatore si annulla in zero;
- se $a<0$ il denominatore non si annulla mai e la funzione è definita su tutta la retta reale.

[luca1235]

\(\displaystyle \)e se avessi una funzione del tipo
$sqrt(2a-sin (x))$

[Uomosenzasonno]

Per risolverlo considera che $(-sin(x)) in [-1,1]$, quindi vedi cosa succede per $0<2a<1$, $-1<2a<0$. $2a>1$, $2a<-1$

[luca1235]

non riesco ad arrivare alla soluzione, che intendi per vedere cosa succede?

[retrocomputer]

Se anche qui vuoi solo sapere per quali valori di $a$ la funzione è definita su tutta la retta reale, devi vedere per quali $a$ risulta $2a-\sin x\geq 0$ per ogni $x$, cioè dove vale $\sin x\leq 2a$, sapendo che il seno di $x$ è sempre compreso tra $-1$ e $+1$:

- per $2a< -1$ la condizione non è mai verificata e quindi la funzione è definita in nessun punto $x$;
- per $2a\geq 1$ la condizione è sempre verificata e questa è la risposta alla domanda;
- per $-1\leq 2a< 1$ le cose si complicano un po', ma sicuramente la funzione non sarà definita su tutta la retta reale perché qualunque valore di $2a$ tu prenda troverai sempre una $x$ per cui la disequazione iniziale non è verificata.

[luca1235]

mi rimangono dei dubbi su
0 $<$ 2a $<$ 1 e -1$<$ 2a $<$ 0
da quanto ho potuto verificare tutti i risultati dipendono dalla x, quindi la funzione dovrebbe essere verificata anche
nel caso in cui sia -1 $<$ 2a $<$ 1 rimanendo non verificata solo per 2a $<$ -1
è corretto il ragionamento?

[gio73]

provo a fare un esempio se 2a=0, dunque compreso nell'intevallo che hai indicato tu, la funzione assume valori reali solo quando senx assune valori negativi e quindi per angoli compresi tra pigreco e 2pigreco (e multipli), ma non quando il seno di x assume valori positivi e quindi con valori di x compresi tra o e pigreco. Se mi sfugge qualcosa, ditemelo.

[retrocomputer]

No no, l'esempio in zero è semplice e illuminante! Rende perfettamente l'idea di cosa succede fra -1 e +1...

[retrocomputer]

"luca123":
da quanto ho potuto verificare tutti i risultati dipendono dalla x, quindi la funzione dovrebbe essere verificata anche
nel caso in cui sia -1 $<$ 2a $<$ 1 rimanendo non verificata solo per 2a $<$ -1
è corretto il ragionamento?

Per $2a$ tra -1 e +1, esistono tante $x$ per cui l'espressione iniziale è definita e tante $x$ per cui non è definita. Se la richiesta dell'esercizio era di trovare per quali $a$ l'espressione è sempre definita (cioè per ogni $x$), allora la risposta è "solo per $2a\geq 1$". Se invece la domanda è di trovare per quali $x$ l'espressione è definita al variare del parametro $a$, allora il discorso cambia e la cosa si complica...