[Equazione parametrica]
Salve matematici!! Mi potreste aiutare con questo quesito per favore?
Ho questa equazione parametrica di secondo grado:
$ x^2 + (2a+1)x+a^2-1=0 $
Devo determinare i valori del parametro a per cui si ha $ x'+x'' geq 1 $
Svolgendo tutti i calcoli e applicando la regola delle relazioni fra i coefficienti di un'eq. di 2° grado e le sue soluzioni, mi ritrovo che a dev'essere maggiore o uguale a 0, e basta.
Però nel libro la soluzione di questa domanda è $ -5/4leq aleq -1 $
Perchè?
Ho questa equazione parametrica di secondo grado:
$ x^2 + (2a+1)x+a^2-1=0 $
Devo determinare i valori del parametro a per cui si ha $ x'+x'' geq 1 $
Svolgendo tutti i calcoli e applicando la regola delle relazioni fra i coefficienti di un'eq. di 2° grado e le sue soluzioni, mi ritrovo che a dev'essere maggiore o uguale a 0, e basta.
Però nel libro la soluzione di questa domanda è $ -5/4leq aleq -1 $
Perchè?
Risposte
"Gufo94":
$ x'+x'' >= 1 $
questi simboli per te indicano le due radici dell'equazione giusto? (te lo chiedo perchè in realtà hanno tutto un altro significato
)allora postaci qualche conto e vediamo se c'è un errore, perlomeno esplicita quanto ti vengono le due radici.
Sì, sì sono le radici dell'equazione! ^^
Allora, ho fatto:
$ x'+x''geq1 hArr -(b-a)/ageq0 hArr (a-b)/a geq 0 hArr 1-2a-1geq0 hArr 2aleq0 hArr a leq0 $
(dove a e b sono i coefficienti dell'equazione in forma canonica $ ax^2+bx+c=0 $ )
Mi chiedo, non basterebbe così? Il libro dice che con $ a=-5/4 $ , le soluzioni sono coincidenti. E quindi? Che me ne faccio di questi 5/4? o.O
Allora, ho fatto:
$ x'+x''geq1 hArr -(b-a)/ageq0 hArr (a-b)/a geq 0 hArr 1-2a-1geq0 hArr 2aleq0 hArr a leq0 $
(dove a e b sono i coefficienti dell'equazione in forma canonica $ ax^2+bx+c=0 $ )
Mi chiedo, non basterebbe così? Il libro dice che con $ a=-5/4 $ , le soluzioni sono coincidenti. E quindi? Che me ne faccio di questi 5/4? o.O
Devi porre la condizione che le due soluzioni esistano, cioè $Delta>=0$
Ok. Il discriminante è positivo o nullo per $ a geq -5/4 $ .
Io ho fatto: $ { ( ageq-5/4 ),( aleq0 ):} $ , e quindi $ -5/4 leqaleq0 $
Perfetto, ma a questo punto come è saltato fuori quel -1 della soluzione del libro? Si saranno sbagliati? o.O
Io ho fatto: $ { ( ageq-5/4 ),( aleq0 ):} $ , e quindi $ -5/4 leqaleq0 $
Perfetto, ma a questo punto come è saltato fuori quel -1 della soluzione del libro? Si saranno sbagliati? o.O
Hai anche sbagliato la prima disequazione:
$-(2a+1)>=1$ diventa $-2a-1-1>=0$ $2a+2<=0$ quindi $a<=-1$
$-(2a+1)>=1$ diventa $-2a-1-1>=0$ $2a+2<=0$ quindi $a<=-1$
Aaaaaahia, oddio è vero ho fatto un patatrac con i segni, che vergogna!
Sisi ora ovviamente mi esce tutto, grazie mille!!
Sisi ora ovviamente mi esce tutto, grazie mille!!
E se io avessi l'equazione :
$ x^2-2(a-1)x+a^2-1=0 $
Per quali valori di a l'equazione ha due soluzioni l'una il doppio dell'altra?
$ (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) =2((-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)) $
$ (2(a-1)+2sqrt(2-2a))/2=2(2(a-1)-2sqrt(2-2a))/2 $
$ a-1+sqrt(2-2a)=2a-2-2sqrt(2-2a) $
uffa
--_--'
E' impossibile andare avanti..
$ x^2-2(a-1)x+a^2-1=0 $
Per quali valori di a l'equazione ha due soluzioni l'una il doppio dell'altra?
$ (-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a) =2((-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)) $
$ (2(a-1)+2sqrt(2-2a))/2=2(2(a-1)-2sqrt(2-2a))/2 $
$ a-1+sqrt(2-2a)=2a-2-2sqrt(2-2a) $
uffa
--_--' E' impossibile andare avanti..
"Gufo94":
E' impossibile andare avanti..
impossibile, che parolone...
hai sbagliato dei conti prima, il tuo $b$ è $-2(a-1)$ ovvero $2(1-a)$
prova a rifare
Scusa tanto, son stupido non riesco proprio a capire dove ho sbagliato! >.<
A parte l'errore che ti è già stato segnalato, non conviene impostare l'esercizio nel tuo modo: meglio sfruttare le relazioni fra coefficienti e soluzioni, nonché la $x_2=2x_1$. Ottieni
${(x_2=2x_1),(x_1+x_2=2(a-1)),(x_1x_2=-1):}
Dalle prime due ricavi $x_1$ e $ x_2$ e le sostituisci nell'ultima, ricavando $a$. Se poi vuoi che le soluzioni siano reali, devi controllare che la soluzione così trovata soddisfi a $Delta>=0$, ma non è esplicitamente richiesto. Nel tuo primo quesito era necessario perchè c'era una disequazione, e in campo complesso non sono definite le relazioni "maggiore" e "minore".
O meglio: il prodotto delle soluzioni è negativo, quindi le soluzioni sono certo reali; non occorre alcuna verifica.
${(x_2=2x_1),(x_1+x_2=2(a-1)),(x_1x_2=-1):}
Dalle prime due ricavi $x_1$ e $ x_2$ e le sostituisci nell'ultima, ricavando $a$. Se poi vuoi che le soluzioni siano reali, devi controllare che la soluzione così trovata soddisfi a $Delta>=0$, ma non è esplicitamente richiesto. Nel tuo primo quesito era necessario perchè c'era una disequazione, e in campo complesso non sono definite le relazioni "maggiore" e "minore".
O meglio: il prodotto delle soluzioni è negativo, quindi le soluzioni sono certo reali; non occorre alcuna verifica.
"giammaria":
il prodotto delle soluzioni è negativo, quindi le soluzioni sono certo reali; non occorre alcuna verifica.
curioso, credevo questa strana cosa: $i*i=-1$
Ollà ora mi esce tutto, grazie tantissimo a tutti voi!! Le equazioni parametriche non sono proprio il massimo o.O
Ma a voi risulta facile fare queste cose??
Ma a voi risulta facile fare queste cose??
Per blackbishop13
I tuoi due numeri non sono complessi coniugati (come sarebbero le soluzioni di un'equazione di secondo grado); il coniugato di $i$ è $-i$. In generale
$(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2$: il prodotto è positivo.
I tuoi due numeri non sono complessi coniugati (come sarebbero le soluzioni di un'equazione di secondo grado); il coniugato di $i$ è $-i$. In generale
$(u+iv)(u-iv)=u^2+v^2$: il prodotto è positivo.
Oddio, cos'è? 
"Gufo94":
Ma a voi risulta facile fare queste cose??
dopo che le fai per anni, e fai cose anche molto ma molto più complicate, ovvio che ti risulta facile.
così come risulterà facile a te quando avrai un po' più di esperienza!
@ giammaria: ma sì dai hai ragione, era una battuta.
Wow, siete fantastici e troppo bravi =)!!
Grazie ancora di tutto!
Grazie ancora di tutto!
"Gufo94":Non ti preoccupare: lo studierai l'anno prossimo.
Oddio, cos'è?
Per blackbishop13: scusa la mancanza di spirito.
Non credo che a Gufo94 interesserà, ma per completezza riporto l'osservazione che mi è venuta in mente questa notte: se due numeri sono reali e uno doppio dell'altro, hanno lo stesso segno; com'è possibile che il loro prodotto sia negativo? Ho provato a risolvere il sistema che avevo indicato, ed effettivamente $a$ risulta non reale. Cadono quindi molte delle osservazioni fatte, basate sull'implicita ipotesi che l'equazione avesse coefficienti reali. Probabilmente il testo è sbagliato.
Ecco allora!
Pensavo che mi fosse uscito il sistema, ma mi sbagliavo, perchè oggi la professoressa ha provato a farlo, seguendo proprio il tuo procedimento, però alla fine ci ha detto di lasciar perdere perchè sicuramente c'era qualche errore nel libro, dicendo che i coefficienti non erano reali perchè appunto, come ha detto Giammaria, il prodotto di due numeri che sono l'uno il doppio dell'altro non può essere pari a -1. Particolare che non avrei mai notato ^^
Pensavo che mi fosse uscito il sistema, ma mi sbagliavo, perchè oggi la professoressa ha provato a farlo, seguendo proprio il tuo procedimento, però alla fine ci ha detto di lasciar perdere perchè sicuramente c'era qualche errore nel libro, dicendo che i coefficienti non erano reali perchè appunto, come ha detto Giammaria, il prodotto di due numeri che sono l'uno il doppio dell'altro non può essere pari a -1. Particolare che non avrei mai notato ^^
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