Equazione parametrica

[ufosolar]

Salve ,

devo risolvere alcuni quesiti relativi all'equazione parametrica indicata

\(\displaystyle (a-1)x^2+(2a-1)x+a+1=0 \)

1 ammette soluzioni reali
2 una delle due soluzioni è \(\displaystyle \frac{1}{2} \)
3 ammette soluzioni reali coincidenti
4 ammette soluzioni reali opposte
5 ammette soluzioni reali tali che una è il doppio del reciproco dell'altra
6 ammette soluzioni reali la cui somma è negativa

Per il punto 1 imporrei il \(\displaystyle \Delta \ \geq 0 \)

Per il punto 2 non sò come procedere

per il punto 3 imporrei il \(\displaystyle \Delta = 0 \)

per il punto 4 imporrei il termine \(\displaystyle b = 0 \) ovvero \(\displaystyle (a+1) = 0 \)

per il punto5 imporrei \(\displaystyle x_{1} = 2(\frac{1}{x_{2}}) \)

\(\displaystyle x_{1}x_{2} = 2 \Rightarrow \frac{c}{a} = 2\Rightarrow \frac{a+1}{a-1} = 2\Rightarrow a+1 = 2a-2 \Rightarrow -a = -3 \Rightarrow a = 3 \)

per il punto 6 imporrei \(\displaystyle x_{1} + x_{2} < 0 \Rightarrow - \frac{b}{a} < 0 \Rightarrow -\frac{2a-1}{a-1} < 0 \) domanda... studio il segno del numeratore e denominatore per individuare l'intervallo di validità del aprametro?

Grazie!

[anto_zoolander]

Ciao e benvenut*

1. ok

2. basta che poni $x_1=1/2$ oppure $x_2=1/2$ e risolvi l'equazione

3. ok

4. basta porre $x_1+x_2=0$ infatti se $x_1>0 => 0=x_1+x_2>x_2 => x_2<0$

5. ok ma deve essere anche $delta>0$

6. ok. Nel tuo caso si ha $(2a-1)/(a-1)>0$ quindi sì: studi il segno del numeratore e del denominatore e vedi dove il prodotto dei segni è positivo

[ufosolar]

Grazie!

[anto_zoolander]

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