Equazione parabola.
Data una parabola passante per i punti P1(1,0) e P2(6,0) e tangente alla retta di equazione y=25/4 calcolare l'equazione ?
Risposte
"Johnnyfddfdfd":
Data una parabola passante per i punti P1(1,0) e P2(6,0) e tangente alla retta di equazione y=25/4 calcolare l'equazione ?
Chiedo a te o in generale: non dovrebbe essere $y=25/4x$, ovvero con la $x$?
P.s.: per scrivere i valori metti il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine: $.
Non è detto: la retta $y=25/4$ è una retta parallela all'asse delle $x$: potrebbe tranquillamente tangere la parabola ma l'unico caso è che sia tangente al vertice della stessa proprio perché la retta di tangenza è orizzontale.
(Non so se c'è una dimostrazione di quanto detto che non utilizza le derivate...)
Questo mio post, però, mi ha indispettito alquanto e mi sembra che ci sia qualche informazione di troppo... oppure manca la $x$ come ha detto LucaM.
(Non so se c'è una dimostrazione di quanto detto che non utilizza le derivate...)
Questo mio post, però, mi ha indispettito alquanto e mi sembra che ci sia qualche informazione di troppo... oppure manca la $x$ come ha detto LucaM.
È una retta parallela all'asse X tangente alla parabola nel punto P(?;25/4)
Ho paura di spiegarla un po' troppo "complicata", ma ci provo ugualmente.
Allora, occorre dare un senso al punto interrogativo e ci si riesce pensando che il punto di tangenza corrisponde al vertice della parabola.
La formula per trovare il vertice, cioè (sperando che me la ricordo giusta!)
$V(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2 - 4ac}{4a})$
non aiuta praticamente per nulla: è vero che hai la $y$ che corrisponde a $25/4$ ma non credo si riesca ad estrarre la $x$ in qualche modo da quella informazione.
Occorre ragionare lateralmente, sfruttando il fatto che gli altri due punti - se ci fai caso - sono le intersezioni della parabola con l'asse $x$ e cioè i punti in cui l'equazione (nella variabile $x$) associata alla parabola si annulla.
In altre parole, se hai una generica parabola $y=ax+by+c$, le intersezioni con l'asse $x$ le trovi ponendo $y=0$ e ottieni
$(x_1,0)$ e $(x_2,0)$
come punti, dove $x_{1,2}$ sono proprio le soluzioni di $ax^2 + bx+c=0$.
Ma ora puoi chiederti "e allora?".
Allora hai le seguenti
$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt(b^2-4ac)}{2a}= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
alle quali unisci il fatto che $V_x = -b/(2a)$ concludendo che come ascissa, il vertice, ha un'ascissa intermedia da quelle che sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse $x$ e lo si vede proprio dalla formula risolutiva dell'equazione di secondo grado in $x$ associata alla parabola...
Una volta trovato $P$ basta trovare l'equazione di una parabola passante per 3 punti...
"Johnnyfddfdfd":
P(?;25/4)
Allora, occorre dare un senso al punto interrogativo e ci si riesce pensando che il punto di tangenza corrisponde al vertice della parabola.
La formula per trovare il vertice, cioè (sperando che me la ricordo giusta!)
$V(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2 - 4ac}{4a})$
non aiuta praticamente per nulla: è vero che hai la $y$ che corrisponde a $25/4$ ma non credo si riesca ad estrarre la $x$ in qualche modo da quella informazione.
Occorre ragionare lateralmente, sfruttando il fatto che gli altri due punti - se ci fai caso - sono le intersezioni della parabola con l'asse $x$ e cioè i punti in cui l'equazione (nella variabile $x$) associata alla parabola si annulla.
In altre parole, se hai una generica parabola $y=ax+by+c$, le intersezioni con l'asse $x$ le trovi ponendo $y=0$ e ottieni
$(x_1,0)$ e $(x_2,0)$
come punti, dove $x_{1,2}$ sono proprio le soluzioni di $ax^2 + bx+c=0$.
Ma ora puoi chiederti "e allora?".
Allora hai le seguenti
$x_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt(b^2-4ac)}{2a}= -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt(b^2-4ac)}{2a}$
alle quali unisci il fatto che $V_x = -b/(2a)$ concludendo che come ascissa, il vertice, ha un'ascissa intermedia da quelle che sono le ascisse dei punti di intersezione con l'asse $x$ e lo si vede proprio dalla formula risolutiva dell'equazione di secondo grado in $x$ associata alla parabola...
Una volta trovato $P$ basta trovare l'equazione di una parabola passante per 3 punti...
Non è presente il risultato, ma penso che l'equazione sia giusta confrontandola con il disegno.
Il metodo di Zero87 è senz'altro raccomandabile ed anch'io avrei fatto così; si poteva però anche banalmente imporre che la parabola passasse per i due punti e che $y_V=25/4$ col sistema
${(a+b+c=0),(36a+6b+c=0),(-(b^2-4ac)/(4a)=25/4):}$
che si risolve abbastanza facilmente. La risposta finale è $y=-x^2+7x-6$.
${(a+b+c=0),(36a+6b+c=0),(-(b^2-4ac)/(4a)=25/4):}$
che si risolve abbastanza facilmente. La risposta finale è $y=-x^2+7x-6$.
Se sono date le due intersezioni della parabola con l'asse $x$ $(x_(1,2),0)$, allora l'equazione della parabola è del tipo
$y=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-1)(x-6)$.
Se inoltre è noto il vertice ($x_V=(x_1+x_2)/2=7/2$ e $y_V=25/4$), allora si può ricavare $a$ imponendo il passaggio della parabola per il vertice:
$a=y_V/((x_V-x_1)(x_V-x_2))=(24/5)/((7/2-1)(7/2-6))=-1$.
Quindi l'equazione è
$y=-(x-1)(x-6)=-x^2+7x-6$.
$y=a(x-x_1)(x-x_2)=a(x-1)(x-6)$.
Se inoltre è noto il vertice ($x_V=(x_1+x_2)/2=7/2$ e $y_V=25/4$), allora si può ricavare $a$ imponendo il passaggio della parabola per il vertice:
$a=y_V/((x_V-x_1)(x_V-x_2))=(24/5)/((7/2-1)(7/2-6))=-1$.
Quindi l'equazione è
$y=-(x-1)(x-6)=-x^2+7x-6$.
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