Equazione nel campo complesso

[alexsandrino1989]

ho bisogno dei passaggi x risolvere questa equazione

[math] i\bar w \^4 +4|w|^2 = 0[/math]

dove c'e il primo coniugato di w e elevato alla 4
grazie|

[ciampax]

Allora, posto

[math]w=x+iy[/math]

il coniugato risulta

[math]\bar{w}=x-iy[/math]

e quindi possiamo scrivere, ricordando che

[math]|w|=w\cdot \bar{w}[/math]

[math]i\bar{w}^4+w\bar{w}=0\ \Rightarrow\ \bar{w}(i\bar{w}^3+w)=0[/math]

da cui le due equazioni

[math]\bar{w}=0,\qquad i\bar{w}^3+4w=0[/math]

La prima di esse conduce a

[math]w=0[/math]

mentre dalla seconda si ha

[math]i(x-iy)^3+4(x+iy)=0[/math]

o anche

[math]i(x^3-3ix^2 y-3xy^2+iy^3)+4x+4iy=0[/math]

[math]ix^3+3x^2 y-3ixy^2-y^3+4x+4iy=0[/math]

e quindi, separando parte reale e parte immaginaria

[math]3x^2 y-y^3+4x=0,\qquad x^3-3xy^2+4y=0[/math]

Risolvere questo sistema è una vera seccatura, per cui ti consiglio un metodo alternativo e molto più rapido per risolvere l'equazione.

Considera la fomra esponenziale del numero complesso

[math]w=\rho e^{i\theta}[/math]

dove

[math]|w|=\rho\geq 0[/math]

è il modulo. Allora l'equazione diventa, essendo

[math]\bar{w}=\rho e^{-i\theta}[/math]

[math]i\rho^4 e^{-4i\theta}+4\rho^2=0[/math]

.

Se

[math]\rho\neq 0[/math]

possiamo dividere per tale quantità al quadrato ottenendo l'equazione

[math]i\rho^2 e^{-4i\theta}+4=0\ \Rightarrow\ i e^{-4i\theta}=-\frac{4}{\rho^2}[/math]

Ora a destra abbiamo un numero reale negativo: segue che anche il membro sinistro debba essere tale. Questo vuol dire che

[math]e^{-4i\theta}[/math]

deve essere un numero immaginario puro, da cui

[math]e^{-4i\theta}=\pm i[/math]

. Si ha allora che

[math]i e^{-4i\theta}=i\cdot(\pm i)=\mp 1[/math]

e quindi la scelta da fare è

[math]e^{-4i\theta}=i[/math]

. Ma essendo pure

[math]i=e^{i\pi/2}[/math]

deve essere

[math]-4\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k=1,2,3,4[/math]

e quindi i valori di

[math]\theta[/math]

[math]\theta_k=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2},\qquad k=1,2,3,4[/math]

Si ha allora, dovendo essere pure

[math]-1=-\frac{4}{\rho^2}\ \Rightarrow\ \rho^2=4\ \Rightarrow\ \rho=2[/math]

che le soluzioni sono

[math]w_k=2\ e^{i\theta_k},\qquad k=1,2,3,4[/math]

(Osserva che i valori degli angoli non sono semplici da utilizzare per scrivere il numero complesso in forma cartesiana. Ad esempio, per k=1 si ha

[math]\theta_1=\frac{3\pi}{8}[/math]

e si ha, usando la formula di bisezione

[math]\cos\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(3\pi/4)}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}[/math]

e

[math]\sin\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\frac{3\pi}{8}\right)}=\sqrt{1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

da cui

[math]w_1=2\ e^{3i\pi/8}=2\left(\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}+\frac{i}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2+\sqrt{2}}+i\sqrt{2-\sqrt{2}}[/math]

Come vedi vengono dei valori alquanto particolari, che spiegano il perché risolvere l'equazione con i due sistemi risulti complicato.)

[alexsandrino1989]

grazie mille sei stato molto gentile..! quindi x risolvere le equazioni in c si usano questi due metodi?

[issima90]

Si certo!

[ciampax]

Veramente ce ne sono anche altri. Diciamo che quello di scrivere il numero complesso in forma algebrica o in forma esponenziale sono i più comodi.