Equazione Logaritmica Fratta
Buonasera a tutti,
Stavo provando a risolvere questa disequazione ma proprio non riesco. L'unica cosa che (credo) non sbaglio è il mcm all'inizio, ma poi... ?
$(log_2(4^(x+1)-2)-2x)/(2x+1) leq 1$
Porto l'1 a primo membro, faccio il mcm e mi trovo
$(log_2(4^(x+1)-2)-4x-1)/(2x+1) leq 0$
Poi.... bho ! aiutatemi a capirci qualcosa...
Stavo provando a risolvere questa disequazione ma proprio non riesco. L'unica cosa che (credo) non sbaglio è il mcm all'inizio, ma poi... ?
$(log_2(4^(x+1)-2)-2x)/(2x+1) leq 1$
Porto l'1 a primo membro, faccio il mcm e mi trovo
$(log_2(4^(x+1)-2)-4x-1)/(2x+1) leq 0$
Poi.... bho ! aiutatemi a capirci qualcosa...
Risposte
osserva che il campo di esistenza del logaritmo è $x> -1/2$
ciò vuol dire che, dove ha senso il logaritmo, il denominatore è maggiore di zero
quindi , sotto la condizione $x> -1/2$, basta vedere dove il denominatore è minore o uguale a zero
a questo punto puoi scrivere la disequazione come
$log_2(4^(x+1)-2)- log_2(2^(4x+1))<=0$
penso che da qui tu sappia continuare
ciò vuol dire che, dove ha senso il logaritmo, il denominatore è maggiore di zero
quindi , sotto la condizione $x> -1/2$, basta vedere dove il denominatore è minore o uguale a zero
a questo punto puoi scrivere la disequazione come
$log_2(4^(x+1)-2)- log_2(2^(4x+1))<=0$
penso che da qui tu sappia continuare
"l'abatefarina":
osserva che il campo di esistenza del logaritmo è $x> -1/2$
ciò vuol dire che, dove ha senso il logaritmo, il denominatore è maggiore di zero
Ok e fin qui ci sono
"l'abatefarina":
quindi , sotto la condizione $x> -1/2$, basta vedere dove il denominatore è minore o uguale a zero
Cosa intendi? di svolgere la disequazione come se fosse una normale disequazione fratta e porre $2x+1 geq 0$ per vedere dove è minore uguale a zero e poi passare al numeratore?
"l'abatefarina":
a questo punto puoi scrivere la disequazione come
$log_2(4^(x+1)-2)- log_2(2^(4x+1))<=0$
penso che da qui tu sappia continuare
Come sei passata a ciò? hai fatto diventare -4x-1 prima esponente di 2 e poi argomento del logaritmo, così da non variare la "sostanza" della disequazione? si può fare anche se c'è un altro logaritmo affianco e lasciandolo invariato ?
Scusami per tutte queste domande abatefarina ma più che risolvere l'esercizio mi interessa capire i ragionamenti e questi passaggi da te descritti.. grazie !
rispiego perchè ho scritto per errore denominatore al posto di numeratore: nel momento in cui si va a calcolare la condizione di esistenza del logaritmo in questo caso si osserva che la stessa condizione rende anche il denominatore positivo
quindi siccome adesso la disequazione si risolve a partire da questa condizione e sapendo già che il denominatore e positivo, vedere dove è minore uguale a zero la frazione equivale a vedere dove è minore o uguale a zero il numeratore
per l'altra domanda ho utilizzato semplicemente la seguente uguaglianza $b=log_aa^b$
quindi siccome adesso la disequazione si risolve a partire da questa condizione e sapendo già che il denominatore e positivo, vedere dove è minore uguale a zero la frazione equivale a vedere dove è minore o uguale a zero il numeratore
per l'altra domanda ho utilizzato semplicemente la seguente uguaglianza $b=log_aa^b$
Ah ok adesso è chiaro... ultima cosa, giuro !
Per proseguire l'esercizio devo trasportare il secondo logaritmo al secondo membro o usare la proprietà che dice che il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi ?
Per proseguire l'esercizio devo trasportare il secondo logaritmo al secondo membro o usare la proprietà che dice che il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi ?
"Pemberton!":
Per proseguire l'esercizio devo trasportare il secondo logaritmo al secondo membro o usare la proprietà che dice che il logaritmo del rapporto è la differenza dei logaritmi ?
Puoi procedere in entrambi i modi, a dipendenza di come ti trovi meglio.
Nel primo modo
\[ \log_2(4^{x+1}-2) \leq \log_2(2^{4x+1}) \]
usi la monotonia del logaritmo.
Nel secondo modo
\[ \log_2\left( \frac{4^{x+1}-2}{2^{4x+1}} \right)\leq 0 \]
usi il fatto che che \( \log_a(\beta) \leq 0 \), con \(a > 1 \) se e solo se \( 0 < \beta \leq 1 \).
Oppure nuovamente la monotonia del logaritmo vedendo la disequazione in questo modo:
\[ \log_2\left( \frac{4^{x+1}-2}{2^{4x+1}} \right)\leq \log_2(1) \]
Sto provando a svolgere con il primo metodo ma non mi trovo con il risultato. Di seguito i miei ragionamenti:
metto a sistema le seguenti condizioni
1) $4^(x+1) - 2 > 0$
2) $2^(4x+1) > 0$
3) $4^(x+1)-2 leq 2^(4x+1)$
Sviluppando gli esponenziali, mi trovo che
1) $x > -1/2$
2) Essendo un esponenziale per definizione sempre maggiore di zero, è per ogni x appartenente ad R
3) $2^(2x+2) leq 2^(4x+1) + 2$ che diventa, eliminando le basi degli esponenti $2x+2-4x-1-1 leq 0$
$-2x leq 0 rightarrow x geq 0$
la soluzione comune a questo sistema, e quindi della disequazione, è $x geq 0$ ma il libro mi dice che la soluzione è invece $x > -1/2$
scusatemi ma mi sta facendo incaponire di brutto questo esercizio
metto a sistema le seguenti condizioni
1) $4^(x+1) - 2 > 0$
2) $2^(4x+1) > 0$
3) $4^(x+1)-2 leq 2^(4x+1)$
Sviluppando gli esponenziali, mi trovo che
1) $x > -1/2$
2) Essendo un esponenziale per definizione sempre maggiore di zero, è per ogni x appartenente ad R
3) $2^(2x+2) leq 2^(4x+1) + 2$ che diventa, eliminando le basi degli esponenti $2x+2-4x-1-1 leq 0$
$-2x leq 0 rightarrow x geq 0$
la soluzione comune a questo sistema, e quindi della disequazione, è $x geq 0$ ma il libro mi dice che la soluzione è invece $x > -1/2$
scusatemi ma mi sta facendo incaponire di brutto questo esercizio
allora, con la condizione $x> -1/2$ bisogna risolvere la disequazione
$4^(x+1)-2<=2^(4x+1)$
cioè
$ 4\cdot 4^x-2<=2\cdot 2^(4x) $
cioè
$ 4\cdot 4^x-2<=2\cdot 4^(2x) $
cioè,dividendo tutto per $2$,
$ 4^(2x)-2\cdot 4^x+1>=0 $
che equivale a $(4^x-1)^2>=0$ verificata $ AA x in R $
intersecando questo risultato con la condizione iniziale ti trovi con il risultato del libro
$4^(x+1)-2<=2^(4x+1)$
cioè
$ 4\cdot 4^x-2<=2\cdot 2^(4x) $
cioè
$ 4\cdot 4^x-2<=2\cdot 4^(2x) $
cioè,dividendo tutto per $2$,
$ 4^(2x)-2\cdot 4^x+1>=0 $
che equivale a $(4^x-1)^2>=0$ verificata $ AA x in R $
intersecando questo risultato con la condizione iniziale ti trovi con il risultato del libro
Adesso è tutto chiaro... che pazienza che avete ! grazie mille
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