Equazione logaritmica
Risolvere questa equazione logaritmica senza far il minimo comune multiplo:
[tex]3 = \frac{14}{\log_{5}(x+2)} + \frac{4}{\log_{5}(x-1)}[/tex]
Mi è capitata questa equazione logaritmica e non mi viene in mente come risolverla. Prima di ritirarmi, almeno vorrei vedere come eliminare i logaritmi al denominatore.
[tex]3 = \frac{14}{\log_{5}(x+2)} + \frac{4}{\log_{5}(x-1)}[/tex]
Mi è capitata questa equazione logaritmica e non mi viene in mente come risolverla. Prima di ritirarmi, almeno vorrei vedere come eliminare i logaritmi al denominatore.
Risposte
\( \exp_5 \) (?)
[tex]\frac{14 \log_{5}(x-1) + 4\log_{5}(x+2) - 3\log{5}(x+2)\log_{5}(x-1)}{\log_{5}(x-1)\log_{5}(x+2)} = 0[/tex]
Una volta giunto a questo punto non so quale proprietà applicare per continuare. Il denominatore può essere ignorato dopo aver trovato le C.E., ma il prodotto di logaritmi al numeratore mi blocca. Dovrei usare gli esponenziali? E come?
PS: vorrei precisare che non è richiesto di risolvere l'equazione senza fare l'm.c.m però non riuscendo a fare diversamente mi ritrovo con questo prodotto di logaritmi.
Una volta giunto a questo punto non so quale proprietà applicare per continuare. Il denominatore può essere ignorato dopo aver trovato le C.E., ma il prodotto di logaritmi al numeratore mi blocca. Dovrei usare gli esponenziali? E come?
PS: vorrei precisare che non è richiesto di risolvere l'equazione senza fare l'm.c.m però non riuscendo a fare diversamente mi ritrovo con questo prodotto di logaritmi.
"universo":Non so come tu gli abbia definiti, però \( \exp_a \), \( a\neq 1 \), è l'inversa del logaritmo in base \( a \): dalla proprietà \( \exp_a(x_1+x_2)=\dots \) ti dovrebbe venire in mente che...
Dovrei usare gli esponenziali?
Mi pare che marco2132k abbia trovato la soluzione e lo prego di scriverla, dato che io riesco solo a pensare ad un errore di stampa.
Espongo i miei modestissimi risultati.
I due logaritmi esistono per $x>1$ ed in questo intervallo non si annullano se $x!=2$: abbiamo il CE.
In CE la prima frazione scende dal valore massimo $14/(log_5 3)=20.51$ a zero, quindi deve essere
$0<3-4/(log_5(x-1))<20.51$
e con calcoli non difficili ma lunghetti ne ricavo, salvo errori, $x<1.69 vv x>9.55$
Per continuare, direi che l'unica possibilità sia affidarsi ad un computer.
Espongo i miei modestissimi risultati.
I due logaritmi esistono per $x>1$ ed in questo intervallo non si annullano se $x!=2$: abbiamo il CE.
In CE la prima frazione scende dal valore massimo $14/(log_5 3)=20.51$ a zero, quindi deve essere
$0<3-4/(log_5(x-1))<20.51$
e con calcoli non difficili ma lunghetti ne ricavo, salvo errori, $x<1.69 vv x>9.55$
Per continuare, direi che l'unica possibilità sia affidarsi ad un computer.
@giammaria Facio ben più schifo di te, è probabile che tu abbia ragione 
EDIT: Corretto un errore di battitura.
EDIT 2: Basta andare a vedere il grafico per scoprire che questi calcoli sono scorretti.
EDIT: Corretto un errore di battitura.
EDIT 2: Basta andare a vedere il grafico per scoprire che questi calcoli sono scorretti.
Wolfram Alpha e passa la paura … 
… a me invece quello che intriga è: o universo, da dove l'hai presa? 
… a me invece quello che intriga è: o universo, da dove l'hai presa?
È saltata fuori da un testo di terza superiore. Infatti penso che proprio di dovermi ritirare e fare scienze politiche o qualche altra scienza delle merende.
[ot]Cambiare facoltà per un esercizio mi sembra un tantino eccessivo.[/ot]
Ma che risultato mette il testo a questo esercizio, per curiosità?
Ma che risultato mette il testo a questo esercizio, per curiosità?
Il libro dice 1 oppure 5^5, mentre Wolfram Alpha circa 1.6 :O
Sono numeri "esatti" o approssimazioni? Perché è evidente che $1$ non può essere soluzione …
Direi che le soluzioni del libro si riferiscono ad un esercizio diverso; col testo che vedo, $x=1$ è addirittura fuori dal CE.
@ marco2132k
Grazie per aver postato la tua soluzione, ma ti sei accorto da solo che ci sono errori e te ne segnalo uno in particolare: non ci sono proprietà utilizzabili quando, ad esponente, il logaritmo è a denominatore. Ad esempio:
- è giusto fare $(5^(log_5 x))^(-1)=x^(-1)$
- non si può fare nulla quando l'elevazione a -1 riguarda solo l'esponente.
@ marco2132k
Grazie per aver postato la tua soluzione, ma ti sei accorto da solo che ci sono errori e te ne segnalo uno in particolare: non ci sono proprietà utilizzabili quando, ad esponente, il logaritmo è a denominatore. Ad esempio:
- è giusto fare $(5^(log_5 x))^(-1)=x^(-1)$
- non si può fare nulla quando l'elevazione a -1 riguarda solo l'esponente.
È più facile che abbia sbagliato l'autore che Wolfram. Se hai l'opportunità segnala all'autore.
Ma in che capitolo del libro si trova? So che certi libri delle superiori hanno un capitolo sulla risoluzione approssimata delle equazioni (per esempio il matematica.verde).
Ma in che capitolo del libro si trova? So che certi libri delle superiori hanno un capitolo sulla risoluzione approssimata delle equazioni (per esempio il matematica.verde).
@giammaria
Pensavo di sfruttare il fatto che \( \exp_a{1/x}=\exp_a\left(-x\right) \); lasciami perdere
Pensavo di sfruttare il fatto che \( \exp_a{1/x}=\exp_a\left(-x\right) \); lasciami perdere
"universo":Dice anche qualcosa sul \( 15000 \) (come valore approssimato, lui), come è prevedibile se plotti il grafico: sì sarà un errore del testo; peccato, pareva "carina" come espressione.
Wolfram Alpha circa 1.6
Avrà sbagliato il libro, però come si risolvono? Esisterà un modo con tutte le cose avanzate che si fanno all'università! È tanto grave dite non riuscire a risolvere questa equazione? 
Ci sono! Il testo doveva essere
[tex]3 = \frac{14}{\log_{5}x+2} + \frac{4}{\log_{5}x-1}[/tex]
che si risolve facilmente con la sostituzione $u=log_5 x$ ed ha le soluzioni indicate dal libro.
L'importanza delle parentesi!
Per rispondere all'ultima domanda: ci sono modi per risolvere approssimativamente anche le equazioni più stravaganti, ma dubito che siano comprensibili ad un allievo del terzo anno; al massimo puoi pensare di andare per tentativi, dando ad $x$ valori sempre crescenti. Danno comunque soluzioni approssimate: ad esempio, se la vera soluzione fosse $sqrt3-1$ darebbero $0.73$ o qualcosa di simile (migliorabile a piacere, ma mai con tutte le infinite cifre decimali).
[tex]3 = \frac{14}{\log_{5}x+2} + \frac{4}{\log_{5}x-1}[/tex]
che si risolve facilmente con la sostituzione $u=log_5 x$ ed ha le soluzioni indicate dal libro.
L'importanza delle parentesi!
Per rispondere all'ultima domanda: ci sono modi per risolvere approssimativamente anche le equazioni più stravaganti, ma dubito che siano comprensibili ad un allievo del terzo anno; al massimo puoi pensare di andare per tentativi, dando ad $x$ valori sempre crescenti. Danno comunque soluzioni approssimate: ad esempio, se la vera soluzione fosse $sqrt3-1$ darebbero $0.73$ o qualcosa di simile (migliorabile a piacere, ma mai con tutte le infinite cifre decimali).
Il problema @giammaria è che sono al primo anno di Matematica, non al terzo delle superiori :/
Se è log(x) + 2 allora è facile da risolvere, ho dato per scontato che x+2 fosse l'argomento del logaritmo!
Se è log(x) + 2 allora è facile da risolvere, ho dato per scontato che x+2 fosse l'argomento del logaritmo!
Devi tenere in considerazione le parentesi che mette il libro non quelle che inventi tu. Se sbagli a copiare fa niente... rifai l'esercizio con il testo corretto.
"universo":
... sono al primo anno di Matematica, non al terzo delle superiori ...
Ma l'esercizio è stato preso da un testo per la terza, massimo quarta, delle superiori e, quindi, dovrebbe essere risolvibile da studenti di quell'età.
Scritta come ha intuito @giammaria è facilmente risolvibile e fin qui tutti bene. L'esercizio, scritto come l'ho scritto io in partenza, si può risolvere in quinta superiore?
In generale no. Anche se qualche insegnante/libro più audace propone il metodo delle tangenti verso fine anno.
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