Equazione logaritmica
Se io ho $log_2(x^2+2x+8)=2+2log_4(x+2)$
inizio a non andare più avanti dalle condizioni di esistenza in quanto:
${ ( x^2+2x+8>0 ),( x> -2 ):}$
Il sistema risulterebbe impossibile in R in quanto la prima disequazione (di secondo grado) non ha soluzioni (in R), con delta negativo.
Il problema è che ci sono due soluzioni accettabili in quest'equazione.
Tralasciando le condizioni di esistenza (di cui avrei bisogno di chiarimenti per l'equazione in questione), provo a svolgere l'esericizio:
1) $ log_2(x^2+2x+8)=log_2(2^2)+2(log_2(x+2)/log_2(4)) $ (al secondo membro ho applicato la formula del cambiamento di base per il logaritmo di base 4 per ricondurlo a base 2.)
2) Siccome $log_2(4)=2$ allora si semplifica con il 2 della frazione:
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4)+log_2(x+2) $
3) Adesso posso lavorare solo con gli argomenti dei logaritmi:
$ (x^2+2x+8)=4+(x+2) $
4) L'equazione $x^2+x+2=0$ che si ricava risulta impossibile in R, quando delle soluzioni ce l'ha.... (x=0 vel x=2)
inizio a non andare più avanti dalle condizioni di esistenza in quanto:
${ ( x^2+2x+8>0 ),( x> -2 ):}$
Il sistema risulterebbe impossibile in R in quanto la prima disequazione (di secondo grado) non ha soluzioni (in R), con delta negativo.
Il problema è che ci sono due soluzioni accettabili in quest'equazione.
Tralasciando le condizioni di esistenza (di cui avrei bisogno di chiarimenti per l'equazione in questione), provo a svolgere l'esericizio:
1) $ log_2(x^2+2x+8)=log_2(2^2)+2(log_2(x+2)/log_2(4)) $ (al secondo membro ho applicato la formula del cambiamento di base per il logaritmo di base 4 per ricondurlo a base 2.)
2) Siccome $log_2(4)=2$ allora si semplifica con il 2 della frazione:
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4)+log_2(x+2) $
3) Adesso posso lavorare solo con gli argomenti dei logaritmi:
$ (x^2+2x+8)=4+(x+2) $
4) L'equazione $x^2+x+2=0$ che si ricava risulta impossibile in R, quando delle soluzioni ce l'ha.... (x=0 vel x=2)
Risposte
"mathos2000":
... Il sistema risulterebbe impossibile in R in quanto la prima disequazione (di secondo grado) non ha soluzioni (in R), con delta negativo.
Ehm, ehm ... è una disequazione non un'equazione ...
attento al dominio che quella è un'equazione. per l'ultimo passaggio invece applica le proprietà dei logaritmi. non hai una somma ma una moltiplicazione.
"mathos2000":
... Adesso posso lavorare solo con gli argomenti dei logaritmi: ...
Oh, no ...
Dominio $x> -2$ come ti è stato già scritto hai un sistema di disequazioni.
Poi:
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4)+log_2(x+2) $
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4(x+2))$
Poi:
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4)+log_2(x+2) $
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4(x+2))$
"igiul":
Dominio $x> -2$ come ti è stato già scritto hai un sistema di disequazioni.
Poi:
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4)+log_2(x+2) $
$ log_2(x^2+2x+8)=log_2(4(x+2))$
Ma se in un sistema di equazioni una delle due disequazioni è impossibile (l'equazione associata della prima soluzione non ha soluzioni in R) non è impossibile l'intero sistema?
Grazie per le vostre risposte.
ma tu non hai un sistema di equazioni ma di DISEQUAZIONI. l'EQUAZIONE associata non ha soluzioni in $RR$ ma la disequazione è sempre verificata.
"cooper":
ma tu non hai un sistema di equazioni ma di DISEQUAZIONI. l'EQUAZIONE associata non ha soluzioni in $RR$ ma la disequazione è sempre verificata.
Grazie per il chiarimento. Così ho potuto ripassare le disequazioni di secondo grado. Non pensavo completamente a ciò...
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