Equazione logaritmica
Sto cominciando a studiare le equazioni logaritmiche e vorrei chiedervi lo svolgimento di un esercizio:
$ log _3(3x+2)=log_9(4x+5) $
ho cambiato la base ed ho ottenuto
$ log_3(3x+2)=log_3(4x+5)/2 $
come vado avanti?
in generale, come mi comporto quando in un'equazione logaritmica mi ritrovo altre operazioni e l'argomento del logaritmo è diverso ?
grazie!
$ log _3(3x+2)=log_9(4x+5) $
ho cambiato la base ed ho ottenuto
$ log_3(3x+2)=log_3(4x+5)/2 $
come vado avanti?
in generale, come mi comporto quando in un'equazione logaritmica mi ritrovo altre operazioni e l'argomento del logaritmo è diverso ?
grazie!
Risposte
Ciao,
per risolvere questo tipo di equazioni devi utilizzare le proprietà degli esponenziali/logaritmi che hai sicuramente studiato. Hai iniziato bene riportando tutto alla stessa base, ora ti basta fare qualche accorgimento.
Innanzitutto definiamo il campo di esistenza dei logaritmi, risolvendo il sistema
${ ( 3x+2>0 ),( 4x+5>0 ):} $
$x> -2/3$
Passiamo ora all'equazione
$log_3(3x+2)=1/2log_3(4x+5)$
$log_3(3x+2)=log_3(4x+5)^(1/2)$
$3x+2=sqrt(4x+5)$
Nel primo passaggio ho apllicato una delle proprietà fondamentali dei logaritmi, mentre nel secondo ho apllicato la funzione esponenziale ad entrambi i membri passando direttamente agli argomenti. Si viene a sviluppare un'equazione di secondo grado. Lascio a te il compito di trovare le soluzioni e verificarle
per risolvere questo tipo di equazioni devi utilizzare le proprietà degli esponenziali/logaritmi che hai sicuramente studiato. Hai iniziato bene riportando tutto alla stessa base, ora ti basta fare qualche accorgimento.
Innanzitutto definiamo il campo di esistenza dei logaritmi, risolvendo il sistema
${ ( 3x+2>0 ),( 4x+5>0 ):} $
$x> -2/3$
Passiamo ora all'equazione
$log_3(3x+2)=1/2log_3(4x+5)$
$log_3(3x+2)=log_3(4x+5)^(1/2)$
$3x+2=sqrt(4x+5)$
Nel primo passaggio ho apllicato una delle proprietà fondamentali dei logaritmi, mentre nel secondo ho apllicato la funzione esponenziale ad entrambi i membri passando direttamente agli argomenti. Si viene a sviluppare un'equazione di secondo grado. Lascio a te il compito di trovare le soluzioni e verificarle
Grazie! tutto molto chiaro!
Vorrei farti un 'altra domanda:
se in un testo mi ritrovo log (qualcosa x) + log (qualcosa x )= n
dopo aver "unito" i logaritmi come si procede?
Vorrei farti un 'altra domanda:
se in un testo mi ritrovo log (qualcosa x) + log (qualcosa x )= n
dopo aver "unito" i logaritmi come si procede?
Il punto cruciale da capire nelle equazioni logaritmiche/esponenziali è che si può passare dall'una all'atra con estrema facilità. Essendo strettamente legate. Nel caso che mi hai richiesto si risolve così
Es.
$log_3(x)=2$
$x=3^2$
$x=9$
Applichi semplicemente la funzione esponenziale ad entrambi i membri. Da una parte ti sparirà il logaritmo, per via di una delle proprietà fondamentali, dall'altra avrai un numero. Attenzione a quando fai questo passaggio in una disequazione, li le cose cambiano un pochino...
Es.
$log_3(x)=2$
$x=3^2$
$x=9$
Applichi semplicemente la funzione esponenziale ad entrambi i membri. Da una parte ti sparirà il logaritmo, per via di una delle proprietà fondamentali, dall'altra avrai un numero. Attenzione a quando fai questo passaggio in una disequazione, li le cose cambiano un pochino...
scusa di nuovo il disturbo 
vorrei farti un esempio:
$ -lnx=2 $
il libro dice :
$ x= e^-2 $
ha applicato la proprietà a^C=b
ma non capisco perché il segno è diventato esponente del risultato
vorrei farti un esempio:
$ -lnx=2 $
il libro dice :
$ x= e^-2 $
ha applicato la proprietà a^C=b
ma non capisco perché il segno è diventato esponente del risultato
Ha semplicemente moltiplicato entrambi i membri per $-1$. Invertendo i segni e risolvendo poi l'equazione
Perfetto! grazie 
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