Equazione logaritmica

[Umbreon93]

1/2 [ log_2 di (x+1) - log_4 (x^2+2x+1) + 3log_8 (x^2+x) ] -log_4 di x = 3/2 log_8 di (x+1)

Devo verificare che il termine a sinistra dell'uguale sia uguale a quello di destra .. ho provato a cambiare le basi del termine a sinistra ottenendo tutti logaritmi in base 2 e poi a svolgere l'algebra con le proprietà dei logaritmi e mi viene

log_2 di radice di (x^2+x)/ radice di x

Quel logaritmo , se lo porto in base 8 non diventa 3/2 log_8 di (x+1) ..
Ho sbagliato qualcosa ! Potreste scrivermi tutti i passaggi ? Grazie ..

[minomic]

Ciao,
$1/2[log_2 (x+1) - log_4 (x+1)^2 + 3log_8(x^2+x)] - log_4 x = 3/2 log_8 (x+1)$

Considero il membro di sinistra:

$1/2[(log_8 (x+1))/(1/3) - 2(log_8 (x+1))/(2/3) + 3log_8 (x^2+x)] - (log_8 x)/(2/3)= $

$ = 1/2[3log_8 (x+1) - 3log_8 (x+1) + 3log_8 (x^2+x)] - 3/2 log_8 x= $

$ = 3/2 [log_8 (x^2+x) - log_8 x] = $

$ = 3/2 log_8 (x^2 + x)/(x) = $

$ = 3/2 log_8 (x+1) = "2° membro"$.

PS. Si poteva notare subito che quei due logaritmi si cancellavano tra di loro: infatti $log_2 (x+1) = log_4 (x+1)^2$ visto che esiste una proprietà che afferma
\[
\log_a b = \log_{a^n}{b^n}
\]

[giammaria2]

@ Umbreon93. Il tuo risultato non è molto chiaro; in un'interpretazione possibile e però quello voluto. Infatti
$log_2sqrt(x^2+x)/sqrtx=log_2sqrt((x(x+1))/x)=1/2log_2(x+1)$
che è proprio quello che si ottiene dal secondo membro.

[Umbreon93]

Raga,effettivamente potevo arrivarci da solo .. grazie mille!
@Giammaria : quel risultato è dato dal libro ! quell'espressione è posta così e io l'ho copiata direttamente dal libro. Dovevo verificare solo l'uguaglianza

Mi è tutto chiaro !