Equazione lineare simmetrica

[Izzo2]

Data la seguente equazione $ sin x + cos x + 2sin xcos x +1 =0 $ , come procedo? Ho provato a risolvere con formule parametriche ma non mi trovo, oppure dividendo sia solamente per seno o coseno ma niente.
I risultati sono [x = $ - pi/2 +2kpi $] e [x= $ -pi/4 +kpi $]

[kobeilprofeta]

Potresti sostituire banalmente $cos x$ con $sqrt(1-sin^2 x)$ se non hai paura di perderti nei calcoli.

[kobeilprofeta]

Oppure:
Noti che $1=sin^2 x + cos^2 x$ e, dopo averlo notato, noti un quadrato di un binomio... E volendo potresti porre $t=sin x + cos x$...
dai prova tu

[giammaria2]

Sconsiglio il primo suggerimento di kobeilprofeta: i calcoli sono lunghi, la vera formula è $cosx=+-sqrt(1-sin^2x)$ e sono alte le probabilità di sbagliare nel controllo finale dei segni. Ottimo invece il secondo, che è una bella scorciatoia.

Come regola generale, in presenza di equazioni simmetriche in seno e coseno (cioè quando l'equazione resta invariata scambiandoli fra loro) si può fare la sostituzione $x=t+pi/4$ oppure $x=t-pi/4$: dopo un primo passaggio un po' lungo l'equazione diventa molto più semplice. Per abbreviare quel primo passaggio si può notare che (con la prima sostituzione)
$2sinxcosx=sin2x=sin(2t+pi/2)=cos2t$

[Izzo2]

Grazie mille

[kobeilprofeta]

Con la sostituzione $x=t+pi/4$ arrivo a $sqrt(2)*(sin t+cos t)+cos(2t)+1=0$. Ora come proseguo?

[giammaria2]

Devi correggere un errore: in realtà arrivi a

$sqrt2cost+cos2t+1=0" "$ e prosegui con

$sqrt2cost+2cos^2t-1+1=0" "$ eccetera.

[Sk_Anonymous]

Senza l'uso di sostituzioni particolari.
$sinx+cosx=-1-sin2x$
Elevando al quadrato :
$1+sin2x=1+2sin2x+sin^2 2x$
Oppure :
$sin^2 2x+sin2x=0$
che si spezza in :
$sin2x=0; sin2x=-1$
Le soluzioni sono :
$2x=-pi+2kpi$ da cui: $x=-{pi}/2+kpi$
e
$2x=-{pi}/2+2hpi$ da cui $x=-{pi}/4+hpi$
N.B. L'elevazione al quadrato può generare soluzioni estranee al problema e quindi, dopo una tale operazione, è bene verificare che le soluzioni trovate siano effettivamente tali...

[Izzo2]

"ciromario":Senza l'uso di sostituzioni particolari.
$sinx+cosx=-1-sin2x$
Elevando al quadrato :
$1+sin2x=1+2sin2x+sin^2 2x$
Oppure :
$sin^2 2x+sin2x=0$
che si spezza in :
$sin2x=0; sin2x=-1$
Le soluzioni sono :
$2x=-pi+2kpi$ da cui: $x=-{pi}/2+kpi$
e
$2x=-{pi}/2+2hpi$ da cui $x=-{pi}/4+hpi$
N.B. L'elevazione al quadrato può generare soluzioni estranee al problema e quindi, dopo una tale operazione, è bene verificare che le soluzioni trovate siano effettivamente tali...

Grande!