Equazione lineare in seno e coseno
vi chiedo scusa, necessitando di un vostro aiuto.
ho provato a svolgere un'equazione goniometrica, la seguente:
$ cosx+ sqrt3(sinx)=sqrt3$
tuttavia non riesco ad uscirne trionfatore. Probabilmente sbaglierò procedimento ( la svolgo con le formule parametriche) o forse, anzi anche, i calcoli con i radicali.
Vi ringrazio anticipatamente,
alex
ho provato a svolgere un'equazione goniometrica, la seguente:
$ cosx+ sqrt3(sinx)=sqrt3$
tuttavia non riesco ad uscirne trionfatore. Probabilmente sbaglierò procedimento ( la svolgo con le formule parametriche) o forse, anzi anche, i calcoli con i radicali.
Vi ringrazio anticipatamente,
alex
Risposte
"Tipper":
[quote="rematrix"]E voi sareste matematici imparate da un quasi ingegnere come si fa
Divido x 2 emtrambi i membri
ho
1/2 *cos(x) + sqrt(3)/2 *sen(x) = sqrt(3)/2
Il primo membro è lo sviluppo di sen(x+30)
Quindi si ha
sen(x+30)=sqrt(3)/2
x+30=60+2Kpi
x=30+2Kpi
Caro ingegnere, se dobbiamo tutti imparare da te almeno risolvile per bene: manca $x+\frac{\pi}{6} = \frac{2}{3} \pi + 2k \pi$ cioè $x = \frac{\pi}{2} + 2 k \pi$, $k \in \mathbb{Z}$.
E poi, se risolvi in gradi perché metti la periodicità in radianti?[/quote]
Io ringrazio tutti voi per l'aiuto. Anche l'ingegnere. Ma i matematici che prima mi hanno aiutato sono riusciti ad indirizzarmi alla soluzione, con pazienza e attenzione. L'equazione è stata soddisfatta in entrambi i modi, e con le formule parametriche (klarence) e con il metodo grafico ( steven).
Vi ringrazio ancora....
alex
Vi ringrazio ancora....
alex
Il metodo di rematrix ,sebbene mancante di una soluzione,e' preferibile
all'uso delle formule parametriche o della identita' fondamentale.
Almeno secondo me.
Se a qualcuno interessa posto il metodo generale.
Sia da risolvere l'equazione lineare:
(1) $asinx+bcosx=c,abc!=0$
Abbiamo 2 casi : ab>0 oppure ab<0.
1)ab>0
Previo un opportuno cambio di segni,si puo'
sempre supporre a>0,b>0.
Scriviamo allora la (1) cosi':
(2) $sinx+b/acosx=c/a$
Poniamo :
$tanalpha=b/a,sinalpha=b/(sqrt(a^2+b^2)),cosalpha=a/(sqrt(a^2+b^2)),alpha=arctan(b/a)$
E la (2) diventa:
$sinx+tanalphacosx=c/a$ cioe' :$sin(x+alpha)=c/acosalpha=c/( sqrt(a^2+b^2))$
E dunque la soluzione e':
$x=(-1)^k*arcsin(c/(sqrt(a^2+b^2)))+kpi-alpha,k in Z$
Per esempio nel caso prospettato e' $a=sqrt3,b=1,c=sqrt3$e dunque la soluzione e':
$x=(-1)^k*arcsin((sqrt3)/2)+kpi-arctan(sqrt3/3)=(-1)^k*(pi)/3+kpi-(pi)/6$ ,sempre con $k in Z$
e separando i casi k=pari e k=dispari si hanno i due gruppi di soluzioni.
2)ab<0
In tal caso si puo' sempre supporre a>0 ,b<0 e porre :
$tanalpha=(|b|)/a=-b/a$
Con i medesimi passaggi di prima si giunge all'equazione:
$ sin(x-alpha)=c/( sqrt(a^2+b^2))$ etc.
karl
all'uso delle formule parametriche o della identita' fondamentale.
Almeno secondo me.
Se a qualcuno interessa posto il metodo generale.
Sia da risolvere l'equazione lineare:
(1) $asinx+bcosx=c,abc!=0$
Abbiamo 2 casi : ab>0 oppure ab<0.
1)ab>0
Previo un opportuno cambio di segni,si puo'
sempre supporre a>0,b>0.
Scriviamo allora la (1) cosi':
(2) $sinx+b/acosx=c/a$
Poniamo :
$tanalpha=b/a,sinalpha=b/(sqrt(a^2+b^2)),cosalpha=a/(sqrt(a^2+b^2)),alpha=arctan(b/a)$
E la (2) diventa:
$sinx+tanalphacosx=c/a$ cioe' :$sin(x+alpha)=c/acosalpha=c/( sqrt(a^2+b^2))$
E dunque la soluzione e':
$x=(-1)^k*arcsin(c/(sqrt(a^2+b^2)))+kpi-alpha,k in Z$
Per esempio nel caso prospettato e' $a=sqrt3,b=1,c=sqrt3$e dunque la soluzione e':
$x=(-1)^k*arcsin((sqrt3)/2)+kpi-arctan(sqrt3/3)=(-1)^k*(pi)/3+kpi-(pi)/6$ ,sempre con $k in Z$
e separando i casi k=pari e k=dispari si hanno i due gruppi di soluzioni.
2)ab<0
In tal caso si puo' sempre supporre a>0 ,b<0 e porre :
$tanalpha=(|b|)/a=-b/a$
Con i medesimi passaggi di prima si giunge all'equazione:
$ sin(x-alpha)=c/( sqrt(a^2+b^2))$ etc.
karl
karl io questo metodo non lo conoscevo, ed ora che l'ho letto sembra più comodo di quello che uso io di solito, ma c'è modo e modo di dire le cose...
Cos'ha detto di male, scusa?
Di male nulla, ma ha avuto un atteggiamento un po' presuntuoso.
Il metodo di rematrix ,sebbene mancante di una soluzione,e' preferibile
all'uso delle formule parametriche o della identita' fondamentale.
Almeno secondo me.
Se a qualcuno interessa posto il metodo generale.
Sinceramente non ci vedo del presuntuoso o dell'altezzoso in ciò che ha detto.
Sia lui che rematrix hanno offerto un metodo alternativo meno comune alle scuole superiori di risolvere l'equazione.
Anche rematrix, non mi sembra che la sua battuta volesse avere il significato di un affronto. Almeno spero.... Io ci ho sorriso sopra.
E tanto la cosa non mi riguarderebbe perchè non solo non sono matematico, ma ancora devo prendere la maturità scientifica.
Ciao a tutti
Credo che Klarence si rivolgesse solo a rematrix.
Per una volta tanto io non c'entro !!!
karl
Per una volta tanto io non c'entro !!!
karl
Mi sa di si..
X Tipper:
Guarda non ti arrampicare sugli specchi...e cerca di riconoscere che la soluzione che ho dato io è di gran lunga la migliore e la piu' immediata e la piu' elegante dal punto di vista matematico..altro che formule parametriche(giuste anche quelle tra l'altro)...Dimostra la capacita' che uno ha di spaziare e collegare gli argomenti della trigonometria e non di ricorrere alla banale sostituzione...Per intenderci un prof di matematica,davanti alla correzione di qst esercizio,premia sicuramente Di PIU' la qualita' della soluzione(ovvero la mia ).. e mette 10 a me e 9 a chi lo risolve correttamente in altro modo....
Guarda non ti arrampicare sugli specchi...e cerca di riconoscere che la soluzione che ho dato io è di gran lunga la migliore e la piu' immediata e la piu' elegante dal punto di vista matematico..altro che formule parametriche(giuste anche quelle tra l'altro)...Dimostra la capacita' che uno ha di spaziare e collegare gli argomenti della trigonometria e non di ricorrere alla banale sostituzione...Per intenderci un prof di matematica,davanti alla correzione di qst esercizio,premia sicuramente Di PIU' la qualita' della soluzione(ovvero la mia ).. e mette 10 a me e 9 a chi lo risolve correttamente in altro modo....
"rematrix":
X Tipper:
Guarda non ti arrampicare sugli specchi...e cerca di riconoscere che la soluzione che ho dato io è di gran lunga la migliore e la piu' immediata e la piu' elegante dal punto di vista matematico..altro che formule parametriche(giuste anche quelle tra l'altro)...Dimostra la capacita' che uno ha di spaziare e collegare gli argomenti della trigonometria e non di ricorrere alla banale sostituzione...Per intenderci un prof di matematica,davanti alla correzione di qst esercizio,premia sicuramente Di PIU' la qualita' della soluzione(ovvero la mia ).. e mette 10 a me e 9 a chi lo risolve correttamente in altro modo....
Allora forse non ci siamo capiti... io non ho mai detto che la tua soluzione non fosse la migliore, lo è, di sicuro, peccato che non fosse corretta...
Quindi, prima di dire imparate da me, controlla che ciò che dici sia del tutto esatto.
Non penso proprio che un professore dia 10 se uno gli trova una soluzione invece di due...
rematrix nessuno ha messo in dubbio il fatto che la tua soluzione sia migliore di quella mia e di quelle altre proposte dagli altri, però puoi benissimo evitare di avere quell'atteggiamento presuntuoso visto che qui nessuno è perfetto e tutti , certo chi molto di più chi molto di meno a seconda della scuola che si frequenta o a seconda delle nostre capacità, abbiamo qualcosa da imparare
sulla questione della valutazione del metodo di risoluzione preferisco non discutere altrimenti apro un contenzioso che non finisce +.
sulla questione della valutazione del metodo di risoluzione preferisco non discutere altrimenti apro un contenzioso che non finisce +.
Ah ho capito, ma tu sei quello che gioca al pc e alla Playstation, non puoi avere il tempo per trovare proprio tutte le soluzioni... come darti torto...
Guarda che so perfettamente che il seno di un angolo è uguale a sqrt(3) se l'angolo è di 60 o 120 con le relative periodicita'...io posso anche aver dimenticato di mettere l'altra soluzione ma io insisto sulla bellezza del procedimento risolutivo che tu non vuoi riconoscere e continui ad arrapicarti sugli specchi...
Se vuoi te lo ridico esplicitamente: il tuo metodo è il più elegante, il più bello, il più semplice che si poteva usare per risolvere questa equazione. Se proprio lo vuoi sapere io non ci sarei mai arrivato, e se vuoi ti ridico ancora che il tuo metodo è il migliore fra quelli usati (del resto non avevo mai detto il contrario).
Sta di fatto che se dici imparate da me, non è poi così bello dare la soluzione a metà, ti pare?
PS: passi il $\sqrt{3}$ solo se l'angolo è 60 e 120, è un errore di battitura...
Sta di fatto che se dici imparate da me, non è poi così bello dare la soluzione a metà, ti pare?
PS: passi il $\sqrt{3}$ solo se l'angolo è 60 e 120, è un errore di battitura...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo