Equazione letterale...

[ffennel]

Ciao a tutti,

ho la seguente equazione letterale, presa dal libro di algebra:
$(b+1)(x+1)=0

Io l'ho svolta così:
$(b+1)(x+1)=0

$bx+b+x+1=0

$bx+x=-b-1

$x(b+1)=-b-1

Discussione:

$b=-1$, indeterminata, perché avrei $x(-1+1)=-(-1)-1 -> 0x=0

$b$ diverso da $-1$, $x=(-b-1)/(b+1) -> x=-(b+1)/(b+1) -> -1

Invece il libro riporta come discussione:
se $b=1$, I.S. = R (che dovrebbe voler dire indeterminata)
se $b$ diverso da $1$, I.S. = $-1

Ho sbagliato?

[maitomiesdan]

Onestamente non ho capito bene la "discussione" riportata dall'autore del tuo libro.
Al di lá di ogni dubbio, quello che é certo é che, se $b=1$ si ha:

$(b+1)(x+1) = 0$
$2(x+1)=0
$x=-1$

quindi l´equazione in x non é affatto indeterminata con $b=1$.

Nel caso generale invece, tu hai (correttamente) riscritto l'equazione originale nella seguente forma:

$(b+1)x = -(b+1)$

a questo punto si potrebbe procedere a dividere entrambi i membri per $(b+1)$ assumendo che $(b+1)\ne 0$, e cioé; $b\ne -1$.
Imposta tale condizione si ottiene: $x=-1$. Chiaramente se $b=-1$ l'equazione é indeterminata, in quanto si riduce a $0=0$, che é soddisfatta per qualsiasi valore di x.

In conclusione:
$x=-1$ , per $b\ne -1$
$x$ indet. per $b=-1$

*****
Al di lá del quesito originale vorrei comunque farti notare una minuzia. Il termine $(b+1)$ é una costante, quindi potevi pensarlo come $K=(b+1)$.
Quindi la tua equazione é della forma $K(x+1)=0$. Senza sviluppare tutto il prodotto come hai fatto tu, potevi subito "liberarti" di K dividendo entrambi i membri per K, e ottenere $x=-1$. Ovviamente la divisione per K si puó fare solo se $K\ne 0$, che si ha quando $b\ne -1$. Bastava questo.
Credo che sia un buon consiglio quello di fermarsi sempre un attimo ad osservare l'equazione e cercare di riconoscerne la forma piú generale, prima di gettarsi a risolvere meccanicamente i prodotti.

[@melia]

Se il testo è quello da te riportato non hai sbagliato, la soluzione del libro è quella dell'equazione $(b-1)(x+1)=0$

[ffennel]

"@melia":Se il testo è quello da te riportato non hai sbagliato, la soluzione del libro è quella dell'equazione $(b-1)(x+1)=0$

L'esercizio è il n. 114 pag. 287 del libro di algebra di questo sito; anche se c'è un errore, comunque, il libro è ottimo e molto chiaro.

Grazie (anche dell'altra spiegazione sul trinomio notevole).

[paperino001]

salve, come si fa ad arrivare da $(b+1)(x+1)=0$ a $(b+1)x = -(b+1)$ ?

non verrebbe direttamente $x=-1$ ?

[@melia]

"paperino00":salve, come si fa ad arrivare da $(b+1)(x+1)=0$ a $(b+1)x = -(b+1)$ ?

Moltiplicando, poi isolando a primo membro i termini con la variabile e infine raccogliendo di nuovo.

"paperino00": non verrebbe direttamente $x=-1$ ?

Solo se $b!= -1$. Per avere solo la variabile senza il parametro devi dividere per $b+1$ e, per il secondo principio di equivalenza, il divisore deve essere diverso da 0.
Quando $b=-1$ l'equazione è indeterminata.

[paperino001]

a me viene vosì:

$(b+1)(x+1)=0 $
$x+1= 0/(b+1)$
$x+1 = 0$
$x = -1$


dove sbaglio?

[@melia]

Non puoi dividere per $b+1$, se non dopo aver posto la condizione $b!=-1$

[ffennel]

"paperino00":a me viene vosì:

$(b+1)(x+1)=0 $
$x+1= 0/(b+1)$
$x+1 = 0$
$x = -1$


dove sbaglio?

Comunque è giusto, anzi, è un modo molto più veloce di quello che avevo utilizzato io ed in pratica è quello che mi consigliava maitomiesdan e che all'inizio non avevo capito (anzi, veramente ci sto riflettendo ancora su).

La C.E. è sempre comunque $b\ne-1$ come ti diceva @melia, perché in quel caso il denominatore che andresti a mettere si annullerebbe e non puoi dividere per $0$.